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时间:2019-07-11
《专题06 函数的奇偶性与周期性-2016年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析版)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题六函数的奇偶性与周期性【考情解读】1.判断函数的奇偶性;2.利用函数的奇偶性求参数;3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用.【重点知识梳理】一、函数的奇偶性奇偶性定 义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称二、周期性1.周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.2.
2、最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【高频考点突破】考点一 判断函数的奇偶性例1、判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=+;(2)f(x)=(x+1);(3)f(x)=.【解析】(1)由,得x=±3.∴f(x)的定义域为{-3,3}.又f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0.即f(x)=±f(-x).∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.16汇聚名校名师,奉献精品资源,打造不一样的教育!【拓展提高】判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定
3、义域对解决问题是有利的;(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.【变式探究】下列函数:①f(x)=+;②f(x)=x3-x;③f(x)=ln(x+);④f(x)=;⑤f(x)=lg.其中奇函数的个数是( )A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D③由x+>x+
4、x
5、≥0知f(x)=ln(x+)的定义域为R,又f(-x)=ln(-x+)=ln=-ln(x+)=-f(x),16汇聚名校名师,奉献精品资源,打造不一样的教育!则f(x)为奇函数;④f(x)=的定义域为R,又f(-x)==-=-f(x),则f(x)为奇函数;[来源:Zxxk.Com]⑤由>0得-16、f(x)=ln的定义域为(-1,1),又f(-x)=ln=ln-1=-ln=-f(x),则f(x)为奇函数,∴奇函数的个数为5.考点二 函数的奇偶性与周期性例2、设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013).(3)解 ∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7、7)16汇聚名校名师,奉献精品资源,打造不一样的教育!=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0.∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)=f(0)+f(1)=1.【拓展提高】判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题.【变式探究】已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=________.【答案】2.5考点三 函数性质的综合应用例3 设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+28、)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积;(3)写出(-∞,+∞)内函数f(x)的单调区间.【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x).16汇聚名校名师,奉献精品资源,打造不一样的教9、育!故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4.(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间为[4k+1,4k+3](k∈Z).【拓展提高】函数性质的综合问题,可以利用函数的周期性、对称性确定
6、f(x)=ln的定义域为(-1,1),又f(-x)=ln=ln-1=-ln=-f(x),则f(x)为奇函数,∴奇函数的个数为5.考点二 函数的奇偶性与周期性例2、设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013).(3)解 ∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(
7、7)16汇聚名校名师,奉献精品资源,打造不一样的教育!=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0.∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)=f(0)+f(1)=1.【拓展提高】判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题.【变式探究】已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=________.【答案】2.5考点三 函数性质的综合应用例3 设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2
8、)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积;(3)写出(-∞,+∞)内函数f(x)的单调区间.【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x).16汇聚名校名师,奉献精品资源,打造不一样的教
9、育!故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4.(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间为[4k+1,4k+3](k∈Z).【拓展提高】函数性质的综合问题,可以利用函数的周期性、对称性确定
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