高考数学一轮复习专题06函数的奇偶性与周期性（含解析）

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1、专题06函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.基础知识融会贯通1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，

2、如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【知识拓展】1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(

3、x

4、)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函

5、数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．重点难点突破【题型一】判断函数的奇偶性【典型例题】下列函数中，既是奇函数，又是增函数是（　　）A．f（x）＝x

6、x

7、B．f（x）＝﹣x3C．f（x）D．f（x）【解答】解：由f（﹣x）＝﹣x

8、﹣x

9、＝﹣x

10、x

11、＝﹣f（x），知函数f（x）＝x

12、x

13、为奇函数，又f（x）＝x

14、x

15、当x＞0时，f（x）＝x2在（0，+∞）上为增函数

16、，根据奇函数图象关于原点中心对称，所以当x＜0时，f（x）＝﹣x2在（﹣∞，0）上也为增函数，所以函数f（x）＝x

17、x

18、在定义域内既是奇函数，又是增函数，故A正确．∵2＞1，而﹣23＜﹣13，所以函数f（x）＝x3在定义域内不是增函数，故B不正确．∵不关于原点对称，∴f（x）＝sinx在给定的定义域内不是奇函数，故C不正确．∵f（x）的定义域为{x

19、x＞0}，不关于原点对称，所以函数f（x）在定义域内不是奇函数，故D不正确．故选：A． 【再练一题】下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的函数是（　　）A．f（x

20、）＝sinxB．f（x）＝﹣

21、x+1

22、C．D．【解答】解：f（x）＝sinx是奇函数，但其在区间[﹣1，1]上单调递增，故A错；∵f（x）＝﹣

23、x+1

24、，∴f（﹣x）＝﹣

25、﹣x+1

26、≠﹣f（x），∴f（x）＝﹣

27、x+1

28、不是奇函数，∴故B错；∵a＞1时，y＝ax在[﹣1，1]上单调递增，y＝a﹣x[﹣1，1]上单调递减，∴f（x）在[﹣1，1]上单调递增，故C错；故选：D． 思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f

29、(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．【题型二】函数的周期性及其应用【典型例题】已知函数f（x）满足f（0）＝2，且对任意x∈R都满足f（x+3）＝﹣f（x），则f（2019）的值为（　　）A．2019B．2C．0D．﹣2【解答】解：∵f（x+3）＝﹣f（x），∴f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），∴f（x）的周期为6，∴f（2019）＝f（3），又f（3）＝﹣f（0）＝﹣2，∴f（2019）＝﹣2．

30、故选：D． 【再练一题】定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（　　）A．336B．337C．338D．339【解答】解：∵f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，∴f（1）＝1，f（2）＝2，f（3）＝f（﹣3）＝﹣1，f（4）＝f（﹣2）＝0，f（5）＝f（﹣1）＝﹣1，f（6）＝f（0）＝0，∴f（1）+f（2）+f

31、（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝1，∵f（x+6）＝f（x），∴f（x）的周期为6，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝336+f（1）+f（2）+f（3）＝338．故选：C． 思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性