二项式定理测试卷含问题详解

《二项式定理测试卷含问题详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、标准文档学习目标　1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．1．二项式定理及其相关概念二项式定理公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，称为二项式定理二项式系数C(k＝0,1，…，n)通项Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1，…n)二项式定理的特例(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)(1)对称性：C＝C；(2)性质：C＝C＋C；(3)二项式系数的最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即最大；当n是奇

2、数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即最大；(4)二项式系数之和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n，所用方法是赋值法．实用文案标准文档类型一　二项式定理的灵活应用例1　(1)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________.(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________.答案　(1)120　(2)－1解析　(1)f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.(2)(1

3、＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5.∴x2的系数为C＋aC，则10＋5a＝5，解得a＝－1.反思与感悟　两个二项式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．(3)分别求解再相乘，求和即得．跟踪训练1　(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为(　　)A．－40B．－20C．20D．40答案　D解析　令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1，故(x＋)(2x－)5的展开式中常数项即为(2x－)5的展开式中与x的系数之

4、和．(2x－)5的展开式的通项为Tk＋1＝C25－kx5－2k(－1)k，令5－2k＝1，得k＝2，∴展开式中x的系数为C×25－2×(－1)2＝80，实用文案标准文档令5－2k＝－1，得k＝3，∴展开式中的系数为C×25－3×(－1)3＝－40，∴(x＋)(2x－)5的展开式中常数项为80－40＝40.例2　5的展开式中的常数项是________．答案　解析　方法一　原式＝5，∴展开式的通项为＝()(k1＝0,1,2，…，5)．当k1＝5时，T6＝()5＝4，当0≤k1<5时，的展开式的通项公式为＝＝·(k2＝0,1,2，…，5－k1)．令5

5、－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5.∵0≤k1<5且k1∈Z，∴或∴常数项为4＋CC2＋CC×()3＝4＋＋20＝.方法二　原式＝5＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.实用文案标准文档求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，即C·()5.∴所求的常数项为＝.反思与感悟　三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性．跟踪训练2　求(x2＋3x－4)4的展开式中x的系数．解　方法一　(x2＋3x－4)4＝[(x2

6、＋3x)－4]4＝C(x2＋3x)4－C(x2＋3x)3·4＋C(x2＋3x)2·42－C(x2＋3x)·43＋C·44，显然，上式中只有第四项中含x的项，所以展开式中含x的项的系数是－C·3·43＝－768.方法二　(x2＋3x－4)4＝[(x－1)(x＋4)]4＝(x－1)4·(x＋4)4＝(Cx4－Cx3＋Cx2－Cx＋C)(Cx4＋Cx3·4＋Cx2·42＋Cx·43＋C·44)，所以展开式中含x的项的系数是－C44＋C43＝－768.例3　今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期(　　)A．一B．二C．三D．四答案　A解析　求

7、第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数．因为810＝(7＋1)10＝710＋C×79＋…＋C×7＋1＝7M＋1(M∈N*)，所以第810天相当于第1天，故为星期一．反思与感悟　(1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了．(2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．跟踪训练3　设a∈Z，且0≤a<13，若512015＋a能被13整除，则a＝________.答案　1解析　∵51201

8、5＋a＝(52－1)2015＋a＝C522015－C522014＋C522013－…＋C521－1＋a，实用文案标准文档能被13整除，0≤a<13.故