二项式定理地练习及问题详解

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1、二项式定理的练习及答案基础知识训练（一）选择题1．展开式中常数项是（）A.第4项B.C.D.22．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是（）A.-2048B.-1023C.-1024D.10243．展开式中有理项的项数是（）A.4B.5C.6D.74．若与同时有最大值，则m等于（）A.4或5B.5或6C.3或4D.55．设(2x-3)4=，则a0+a1+a2+a3的值为（）A.1B.16C.-15D.156．展开式中的中间两项为（）A.B.C.D.（二）填空题7．在展开式中，x5y2的系数是8

2、．9.的展开式中的有理项是展开式的第项10．(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是11．展开式中系数最大的项是12．0.9915精确到0.01的近似值是（三）解答题13．求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数14．求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数15．已知(1-2x)5展开式中第2项大于第1项而不小于第3，求x的取值范围16．若展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？17．自然数n为偶数时，求证：18．求被9除的余数19．已知的展

3、开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项20．在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数21．求(2x+1)12展开式中系数最大的项参考解答：1．通项，由，常数项是，选（B）2．设f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是，选（C）3．通项，当r=0，2，4，6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，选（A）4．要使最大，因为17为奇数，则或或n=9，若n=8，要使最大，则m==4，若n=9，要使最大，则或或m=5，综上知，m=4或m=5，故选（A）5.C6.C7.;8.

4、4n;9.3,9,15,2110．(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为3511．(1+3x+3x2+x3)10=(1+x)30,此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是T16=.12.0.9915=(1-0.009)5=13．,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项作积，第一个因式中的－x3与(1-x)9展开式中的项作积，故x4的系数是14．=，原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为15．由16．由条

5、件得m+n=21，x2的项为，则因n∈N，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数最小17．原式=18.,∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴被9除余819．依题意∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10设第r+1项为常数项，又令，此所求常数项为18020．在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为∴展开式中含x的项为，此展开式中x的系数为24021．设Tr+1

6、的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有∴展开式中系数最大项为第5项，T5=三.拓展性例题分析例1在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的得系数为：，由已知：，∴通项公式为为有理项，故是4的倍数，∴依次得到有理项为．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项．类似地，的展开式中有多少项是有理项？可以通

7、过抓通项中r的取值，得到共有17页系数和为．例2（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中的常数项．分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）展开式中的可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用展开式中的常数项乘以展开式中的项，可以得到；用展开式中的一次项乘以展开式中的项可得到；用中的乘以展开式中的可得到；用中的项乘以展开式中的项可得到，合并同类项得项为：．（2）．由展开式的通项公式，可得展开

8、式的常数项为．说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．例3求展开式中的系数．分析：不是二项式，我们可以通过或把它看成二项式展开．解：方法一：其中含的项为．含项的系数为6．方法二：其中含的项为．∴项的系数为6．方法3：本题还可通过把看成6个相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，项可由下列几种可能得到．5个因式中取x，一个取1得到．3个因式中取x，一个取，两个取1得到．1个因式中取x，两个取，三个取1得到．合