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《局部脑血流的测定 数学建模》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、局部脑血流的测定一.问题简介脑血流量是诊断和治疗脑梗塞,脑出血,动脉瘤和先天性动,静脉血管畸形等脑血管疾病的主要依据。测定脑血流量可为研究人脑在不同的病理和生理条件下的功能提供客观指标，它对研究脑循环药物的药理作用也很有帮助。所以人们长期致力于寻找有效地测定脑血流量的方法。近年来出现了以放射性同位素作示踪剂测定人脑局部血流量的方法。这种方法大致可描述如下:由受试者吸入某种放射性同位素的气体，然后将探测器置于受试者头部某固定处，定时测量该处放射性同位素的计数率(简称计数率)，同时测量他呼出气的计数率。由于动脉血将肺部的放射性同位素输送至大脑，使脑部同
2、位素增加，而脑血流又将同位素带离，使同位素减少，实验证明由脑血流引起局部地区计数率下降的速率与当时该处的记数率成正比，其比例系数反映了该处的脑血流量，被称为脑血流量系数，只要确定该系数即可推算出脑血流量。动脉血从肺输送同位素至大脑引起脑部计数率上升的速率与当时呼出气的计数率成正比。若某受试者的测试数据如下:时间(分)1.001.251.501.752.002.252.502.753.003.253.503.75头部记数率1534152814681378127211621052947848757674599呼出气记数率2231153410547244
3、98342235162111765236时间(分)4.004.254.504.755.005.255.505.756.006.256.506.75头部记数率531471417369326288255225199175155137呼出气记数率251712864321111时间(分)7.007.257.507.758.008.258.508.759.009.259.509.7510.0头部记数率1211079483736557504439353127呼出气记数率0000000000000试建立确定脑血流系数的数学模型并计算上述受试者的脑血流系数。备注:
4、该题目是上海市(1990年)大学生数学建模竞赛A题。二.模型的假定1.脑部计数率(记为ht())的上升只与肺部的放射性同位素有关，上升速度与呼出气的记数率(记为p()t)成正比，比例系数记为k；2.脑部记数率ht()的下降只与该处脑血流量有关，其下降速度正比于ht()，比例系数为脑血流系数，记为K，这里忽略了放射性元素的衰变和其它因素；3.脑血流量在测定期间恒定，心脏博动，被测试者大脑活动，情感波动等带来的变化忽略不予考虑；4.每次仪器测量为相互独立事件，各测量值无记忆相关；5.放射性同位素在人体内传递是从吸入气体(含有放射物)开始的，并假定一次吸
5、入，因此认为同位素在肺中瞬时达到最大浓度；6.在吸入气体瞬时，脑中放射物记数率为零；7.脑血流量与脑血流系数K成单值函数关系，求得后者即可确定前者。三.模型的建立与分析由于已知脑局部同位素的增减与已测定的头部记数率ht()和呼出气记数率p()t成正比关系,于是很自然地确定以脑部同位素量,即脑部记数率作为讨论对象.。1.原始模型的建立设某时刻t≥0时,头部记数率为ht(),在Δt时段后记数率ht()+Δt，由假定可知,头部记数率的增量Δhht=()(+Δt-ht)仅与三个因素有关：(i)肺动脉血将肺部的放射性同位素送至大脑,使脑部记数率增量为Δh；(
6、ii)脑血流将同位素带离,脑记数率下降为Δh；(iii)放射性同位素自身有衰减引起记数率下降量为Δh,设其半衰期为τ.因此,由医学试验及假定有dhdhdhln2123=kp(),t=Kh(),t=-ht(),dtdtdtτ而Δht()=Δh()t-Δh()t+Δh()t，123于是dhdhdhdh123=-+,dtdtdtdt即dhln2=-Kht()+kpt()-ht().(dtτ133由于在测试时放射性同位素(如Xe)的半衰期τ一般很大,而测试时间又很短(大约十几分钟左右),由此假定τ→+∞,于是(1)式变为:dh=-Kh()t+kp()t.(
7、dt2.算法模型的建立与改进在建立算法模型之前,首先必须对p()t进行预测。作p()tt~和-λtlnpt()~t的离散图(图1和图2),由此发现p()t与t有近似于Ae的函数关系。通过对lnpt()~t的离散图2的观察,去掉时刻6及6.5以后的样本(这样作的原因见文章后面的评注),再利用最小二乘法进行拟合得lnpt()=915158.-147577.t-147577.t其相关系数r=0999887.,由此得知pt()=9429.33e3-147577.t我们作出pt()=9429.33e的图形,并将此图和图1放在一起图3,由图3及相关系数r=09
8、99887.可以认为p()t确实是负指数曲线-λtpt()===Ae,(A9429.33,λ147577.).(2)及假设
