2018_2019版高中数学第二讲讲明不等式的基本方法二综合法与分析法学案新人教A版选修

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1、二　综合法与分析法学习目标　1.理解综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点.2.掌握综合法、分析法证明不等式的方法和步骤.3.会用综合法、分析法证明一些不等式．知识点　综合法与分析法思考1　在“推理与证明”中，学习过分析法、综合法，请回顾分析法、综合法的基本特征．答案　分析法是逆推证法或执果索因法，综合法是顺推证法或由因导果法．思考2　综合法与分析法有什么区别和联系？答案　区别：综合法，由因导果，形式简洁，易于表达；分析法，执果索因，利于思考，易于探索．联系：都属于直接证明，常用分析法分析，用

2、综合法表达．梳理　(1)综合法①定义：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法．②特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．③证明的框图表示用P表示已知条件或已有定义、定理、公理等，用Q表示所要证明的不等式，则综合法可用框图表示为→→→…→(2)分析法①定义：证明命题时，常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或

3、已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．这是一种“执果索因”的思考和证明方法．②特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．③证明过程的框图表示用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为→→→…→11类型一　综合法证明不等式例1　已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，求证：2＋2≥.证明　方法一　∵a，b∈R＋，且a＋b＝1，∴ab≤2＝.∴2＋2＝4＋(a2＋b2)＋＝4＋[(a＋b)2－2ab]＋＝4＋(1－2ab)＋≥4＋＋＝.∴2＋2≥.方法二

4、　左边＝2＋2＝a2＋b2＋4＋＝4＋a2＋b2＋＋＝4＋a2＋b2＋1＋＋＋＋＋1＝4＋(a2＋b2)＋2＋2＋≥4＋＋2＋2×2＋2··＝4＋＋2＋4＋2＝，∴2＋2≥.11反思与感悟　综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．跟踪训练1　已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求证：≥9.证明　方法一　∵x＞0，y＞0，∴1＝x＋y≥2.∴xy≤.∴＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋≥

5、1＋8＝9.当且仅当x＝y＝时等号成立．方法二　∵x＋y＝1，x＞0，y＞0，∴＝＝＝5＋2≥5＋2×2＝9.当且仅当x＝y＝时，等号成立．类型二　分析法证明不等式例2　若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg ＋lg ＋lg ＞lga＋lgb＋lgc.证明　要证lg ＋lg ＋lg ＞lga＋lgb＋lgc，即证lg ＞lg(abc)成立，只需证··＞abc成立．又∵≥＞0，≥＞0，≥＞0，∴··≥abc＞0.(*)又∵a，b，c是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立，∴原不等式成立．跟踪训练

6、2　已知x＞0，y＞0，求证：(x2＋y2)＞(x3＋y3).11证明　要证明(x2＋y2)＞(x3＋y3)，只需证(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2.即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6，即证3x4y2＋3x2y4＞2x3y3.∵x＞0，y＞0，∴x2y2＞0.即证3x2＋3y2＞2xy.∵3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy，∴3x2＋3y2＞2xy成立．∴(x2＋y2)＞(x3＋y3).类型三　分析综合法证明不等式例3　设a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：＋≤.证

7、明　要证＋≤，只需证(＋)2≤6，即证(a＋b)＋2＋2≤6.∵a＋b＝1，∴只需证≤，即证ab≤.由a＞0，b＞0，a＋b＝1，得ab≤2＝，即ab≤成立．∴原不等式成立．跟踪训练3　已知△ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，求证：＋＞.证明　要证＋＞，只需证a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)·(b＋m)＞0，即证abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－acm－bcm－cm2＞0，即证abc＋2abm＋(a＋b－c)m2＞0.由于a

8、，b，c是△ABC的边长，m＞0，故有a＋b＞c，即(a＋b－c)m2＞0.所以abc＋2abm＋(a＋b－c)m2＞0是成立的．因此＋＞成立．1．若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是(　　)11A.＜B．a＋＞b＋C．b＋＞a＋D.＜答案　C解析　∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴＜＜0，即＜＜0.∴a＋＜b＋.2．已知函数f(x)＝x，a＞0，b＞0，a≠b，A＝f ，B＝f()，C＝f ，则A，B，C中最大的为________．答案　C解析　∵a＞0，b＞0，a≠b，∴＞＞.又函数f(x)＝x在