2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法与分析法同步学案新人教B版选修

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1、2.2.1　综合法与分析法学习目标　1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一　直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有综合法与分析法．知识点二　综合法阅读下列证明过程，已知实数x，y满足x＋y＝1，求证：2x＋2y≥2.证明：因为x＋y＝1，所以2x＋2y≥2＝2＝2，当且仅当x＝y＝时，等号成立．故2x＋2y≥2成立．思考　该题的证明顺序是什么？答案　从已知利用基本不等式到待证结论．梳理　综合法(1)定义：

2、综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．(2)逻辑关系：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn⇒Q(结论)．(3)特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．知识点三　分析法思考　阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知a，b>0，求证≥.证明：要证≥，只需证a＋b≥2，只需证a＋b－2≥0，12只需证(－)2≥0，因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案　从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件．梳理　分析法(1)定义：分析法是从待证结论出发，一步一步寻

3、求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．(2)逻辑关系：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知)．(3)特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．(4)证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××，…，因为×××成立，所以×××成立．1．综合法是执果索因的逆推证法．(　×　)2．分析法就是从结论推向已知．(　×　)3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．(　√　)类型一　综合法的应用例1　在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c

4、，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明　在△ABC中，A＋B＋C＝π，由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C，因此，B＝，由a，b，c成等比数列，得b2＝ac.又∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此a＝c.故△ABC是等边三角形．反思与感悟　用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论．其适用范围为(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性等．(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用各种条件逐步逼近结论的题型．在使用综合法证

5、12明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱．跟踪训练1　已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：＋＋>3.证明　因为＋＋＝＋＋＋＋＋－3，又a，b，c为不全相等的正实数，而＋≥2，＋≥2，＋≥2，且上述三式等号不能同时成立，所以＋＋＋＋＋－3>6－3＝3，即＋＋>3.类型二　分析法的应用例2　设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．证明　当a＋b≤0时，因为≥0，所以≥(a＋b)成立．当a＋b>0时，用分析法证明如下：要证≥(a＋b)，只需证()2≥2，即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.由于a2＋b2≥

6、2ab对一切实数恒成立，所以≥(a＋b)．综上，对任意实数a，b，≥(a＋b)．反思与感悟　(1)当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即证”这些词语必不可少，否则会出现错误．(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．12跟踪训练2　求证：－<－(a≥3)．证明　要证－<－，只需证＋<＋，只需证(＋)2<(＋)2，只需证2a－3＋2<2a－3＋2，只需证<，只需证0<2，而0<2显然成立，所以－<－(a≥3)．类型三　综

7、合法与分析法的综合应用例3　已知a，b，c是不全相等的正数，且0abc.由公式知≥>0，≥>0，≥>0.因为a，b，c不全相等，上面三式相乘，得··>＝abc，即··>abc成立．所以logx＋logx＋logx

8、＋1)(a＋b>0)．证明　要证(a＋b)≥(a2＋1)＋(b2＋1)成立，只需证2(a＋b)≥(a2＋1)＋(b2＋1)，只需证(a＋b)2≥(a2＋1)(b2＋1)(a＋b>0)．12由于