2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法同步学案新人教A版选修

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1、2.2.1　综合法和分析法学习目标　1.结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法，即综合法和分析法.2.了解综合法和分析法的基本模式、思考过程及特点.3.掌握直接证明的一般步骤，会用综合法和分析法证明一些简单的问题.4.通过具体案例，体会数学证明的特点，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用．知识点一　综合法思考　(1)综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？(2)综合法的思维过程是怎样的？综合法中每步推证的结论是已知(或上一结论)的充分条件还是必要条件？答案　(1)综合法的推理过程是演绎推理，因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结

2、论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．(2)综合法的思维过程是由已知走向求证，即从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，达到待征明的结论或需求的问题．综合法中每步推证的结论是已知(或上一结论)的必要条件，综合法的每一步推证都是由“已知”推出“新结论”，直至要证的结论，其实质是命题“p⇒q”中已知p寻找q，即寻找必要条件．梳理　(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．(2)综合法的框图表示―→―→―→…―→(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的

3、结论)知识点二　综合法的特点1．从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其逐步推理实质上是寻找它的必要条件．2．用综合法证明不等式，其证明步骤严谨、逐层递进、条理清晰、形式简洁．知识点三　分析法思考　阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知a，b>0，求证：≥.15证明：要证≥，只需证a＋b≥2，只需证a＋b－2≥0，只需证(－)2≥0，因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案　从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．梳理　(1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分

4、条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．(2)分析法的框图表示―→―→―→…―→知识点四　综合法与分析法的联系思考　(1)综合法和分析法的本质区别是什么？(2)在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？答案　(1)综合法是由因导果法，每步寻找的是必要条件；而分析法是执果索因法，每步寻找的是充分条件．(2)对于思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q，再根据结论的特点去转化条件，得到中间结论P.若P⇒Q，则结

5、论得证．在解题时常用分析法来探寻思路，用综合法来书写求解过程．梳理　综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点：分析法是“执果索因”，它的优点是利于思考，解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法是“由因导果”，它的优点是易于表述、条理清晰、形式简洁，能较简捷地解决问题，缺点是不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程．1．综合法是执果索因的逆推证法．(　×　)2．分析法就是从结论推向已知．(　×　)3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆

6、．(　√　)15类型一　综合法命题角度1　综合法在证明等式、不等式问题中的应用例1　若＋＝1(a，b，x，y为正实数，且a≠b)，求证：x＋y≥(＋)2.考点　综合法及应用题点　利用综合法解决不等式问题证明　∵x，y，a，b>0，且＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝a＋b＋2＝(＋)2，当且仅当＝时，等号成立．反思与感悟　综合法证明不等式主要依据的是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：①a2≥0(a∈R)；②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，2≥ab，a2＋b2≥；③若a，b∈(0，＋∞)，则

7、≥，特别是＋≥2.跟踪训练1　若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.考点　综合法及应用题点　利用综合法解决不等式问题证明　因为a，b，c∈(0，＋∞)，所以≥>0，≥>0，≥>0.又上述三个不等式中等号不能同时成立，所以··>abc成立．上式两边同时取常用对数，得lg>lg(abc)，所以lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.命题角度2　综合法在立体几何中的应用15例2　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点．(1)若线段AC上存在点D满足

8、平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的