南昌大学第九届高数竞赛(数学专业类11级)试题及答案

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1、南昌大学第九届高等数学竞赛（数学专业类2011级）试题序号：姓名：学号:学院：班级：第考场考试日期：2012年10月14日题号一二三四五六七八九总分累分人签名题分121010121212121010100得分注:本卷共5页,考试时间为8:30——11:30.一、计算题(每题6分，共12分)得分评阅人1、求极限2、求不定积分第10页共10页二、若，证明得分评阅人三、设在闭区间上的连续可导函数，记，假设，且对，有，证明：是有限集。得分评阅人第10页共10页四、证明在(0，1)不一致连续，但在，1)一致连续(其中得分评阅人五、设

2、在[0,1]上二阶可导且满足(),又设在（0,1）取得极值，证明第10页共10页六、证明.在[,]不可积。得分评阅人七、设在处可导，且，.证明存在，使得时，有..得分评阅人第10页共10页八、设在[0,1]连续，在(0，1)二次可微，且满足及，证明：（0,1）使得得分评阅人九、证明=0得分评阅人第10页共10页南昌大学第九届高等数学竞赛（数学专业类2011级）试题答案]序号：姓名：____学院:专业：学号：考试日期：2012年10月题号一二三四五六七八九总分累分人签名题分121010121212121010100得分考生注

3、意事项：1、本试卷共5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、计算题(每题6分，共12分)得分评阅人1、2、=====-所以=第10页共10页二、若，证明得分评阅人由，得，即所以三、设的导函数在闭区间上的连续，记，假设，且对，有，证明：是有限集。得分评阅人反证：设是无限集，（时）则有收敛子列，不妨仍然记为设由连续性知即从而又据罗尔定理存在，使得且由导函数的连续性有矛盾！第10页共10页四、证明在(0，1)不一致连续，但在，1)一致连续(其中得分

4、评阅人（1）对，，，(0，1)但（2），，，，：有五、设在[0,1]上二阶可导且满足(),又设在（0,1）取得极值，证明设在（0,1）取得极值，据泰勒定理存在，（0,1）使得1第10页共10页六、证明.在[,]不可积（其中是有理数）。得分评阅人对，[,]上的任意划分：都有=所以.在[,]不可积。七、设在处可导，且，.证明存在，使得时，有..得分评阅人由极限的保序性，存在，使得时，有即..第10页共10页八、设在[0,1]连续，在(0，1)二次可微，且满足及证明：（0,1）使得得分评阅人令则由罗尔定理，1使得分别在（0，）和

5、（，1）区间用罗尔定理，存在（0，）（，1）使得再次用罗尔定理可得结论。九、证明=0得分评阅人==（所以=0第10页共10页