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《南昌大学第九届高数竞赛(理工类)试题及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、南昌大学第九届高等数学竞赛(理工类)试题序号：姓名：学号:学院（学科部）：班级：第考场考试日期：2012年10月14日题号一二三四五六七八九十十一总分累分人签名题分1515678798898100得分注:本卷共七页,十一道大题,考试时间为8:30——11:30.得分评阅人一、填空题(每题3分，共15分)1、＝.2、.3、设是由方程确定的二元函数，则.4、过点，垂直于直线且平行于平面的直线方程为.5、设幂级数的收敛半径为2，则幂级数的收敛区间为.第1页共12页二、单项选择题(每题3分，共15分)得分评阅人1、设
2、则（）(A).(B).(C)0.(D)1.2、设是由所确定的隐函数，则（）(A).(B).(C).(D).3、下列各选项中正确的是（）(A)若与都收敛，则收敛.(B)若收敛，则与都收敛.(C)若正项级数发散，则.(D)若级数收敛，且，则级数也收敛.4、设，则（）(A).(B).(C).(D).5、设曲面，则()(A).(B).(C).(D).第12页共12页得分评阅人三、（本题满分6分）设（1）求；（2）讨论在的连续性.得分评阅人四、（本题满分7分）求，其中为正整数.第12页共12页得分评阅人五、（本题满分8
3、分）设函数在上有连续的导数，.证明：至少存在一点，使得.得分评阅人六、（本题满分7分）设二阶可导，且满足，求的表达式.第12页共12页得分评阅人七、（本题满分9分）计算曲线积分,其中是椭圆，取逆时针方向.得分评阅人八、（本题满分8分）设椭球面为在第一卦限内的切平面.求使与三个坐标面围成的四面体体积最小的切点坐标.第12页共12页得分评阅人九、（本题满分8分）求级数的收敛域.得分评阅人十、（本题满分9分）设（1）证明方程在上有唯一实根；（2）判别是否存在，若存在，则求极限，若不存在，请说明理由.第12页共12页
4、十一、（本题满分8分）注：科技学院考生只做第1题,其他考生只做第2题。1.一质量为的物体以速度竖直向上抛，空气阻力与速度平方成正比，求物体到达最高点的时间.2.一质量为的物体在粘性液体中由静止自由下落，液体阻力与速度成正比，求位移与时间的关系.得分评阅人第12页共12页南昌大学第九届高等数学竞赛(理工类)试题答案一、填空题(每题3分，共15分)1、.2、.3、1.4、.5、.二、单项选择题(每题3分，共15分)1、C2、A3、A4、B5、D.三、（本题满分6分）设（1）求；（2）讨论在的连续性.（1）（2）在
5、的连续四、（本题满分7分）求，其中为正整数.=，令，原式===，原式==第12页共12页五、（本题满分8分）设函数在上有连续的导数，.证明：至少存在一点，使得.令，则,在上二阶连续可导，所以当时特别地，=于是至少存在一点，使得.六、（本题满分7分）设二阶可导，且满足，求的表达式.令，,原式化为两边求导得1=,（1）两边再求导得,（2）再求导,（3）在（2）中用换得,（4）由（3）、（4）得.通解为，由（1）得，由（2）得，从而解得，故第12页共12页七、（本题满分9分）计算曲线积分,其中是椭圆，取逆时针方向.
6、令，从到.原式===令,原式=6=0八、（本题满分8分）设椭球面为在第一卦限内的切平面.求使与三个坐标面围成的四面体体积最小的切点坐标.解设切点坐标为，则切平面方程为体积为.当取最大值时，取最小值。由重要不等式得，等号成立的充要条件为于是=.第12页共12页九、（本题满分8分）求级数的收敛域.令，则于是当时，原级数收敛。当时，于是级数发散。因此原级数的收敛域为。十、设（1）证明方程在上有唯一实根；（2）判别是否存在，若存在，则求极限，若不存在，请说明理由.（1）令，则，，当时，。于是方程在内有唯一实根，在上无
7、实根。（3）由（1）得，即有下界，下证单调减少。事实上==于是。因此存在，设其值为,由得，即，由得=0，于是,因此=。第12页共12页十一、（本题满分8分）注：科技学院考生只做第1题,其他考生只做第2题。1.一质量为的物体以速度竖直向上抛，空气阻力与速度平方成正比，求物体到达最高点的时间.2.一质量为的物体在粘性液体中由静止自由下落，液体阻力与速度成正比，求位移与时间的关系.1、设时刻速度为，则,.,由得,速度与时间关系为,令解得.2、设时刻位移为，则,.非齐次方程通解为，解得,于是位移与时间的关系为.第12
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