第四届高数竞赛(理工类)试题答案

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1、南昌大学第四届高等数学竞赛(理工类)试题答案序号：姓名：学院:专业：学号：考试日期：2007年9月16日题号一二三四五六七八九十十一十二总分累分人签名题分15156677877787100得分注:本卷共七页,十二道大题,考试时间为8:30——11:30.一、填空题(每空3分，共15分)1、.2、0.3、.4、.5、12.二、选择题(每题3分，共15分)1、C.2、A.3、C.4、C.5、D.第6页共6页得分评阅人三、（本题满分6分）设为连续函数,,讨论当时的极限是否存在.当时，则积分中令则2当时，则.4（1）当时，的极限存在，（2）当时，的极限不存

2、在6得分评阅人四、（本题满分6分）设为连续函数,满足方程,求.123求得4通解5特解6第6页共6页得分评阅人五、（本题满分7分）设，其中均为常数，为从点沿曲线到点的一段弧.利用格林公式.添加从点沿直线到点的有向直线段,则.1对于,因为为封闭曲线,由格林公式知3对于,直接计算5所以,.7得分评阅人六、（本题满分7分）设在上连续，且，求.解：令，则，.于是,原式==解法二：=1=4=6==7第6页共6页得分评阅人七、（本题满分8分）已知正项级数收敛，试判断数列的敛散性.证设级数的前项的部分和由正项级数收敛知存在使得，13由于当时，因此6又由于是单调递增

3、数列，7因此数列收敛.8得分评阅人八、（本题满分7分）计算曲面积分，其中是锥面被平面和所截出部分的外侧.利用高斯公式.补充有向曲面:下侧；有向曲面:上侧.利用高斯公式,有24其中为:.又由于,5,6故7第6页共6页得分评阅人九、（本题满分7分）设，其中函数具有二阶连续导数，求.令，则246=07得分评阅人十、（本题满分7分）设函数满足方程,且由曲线、直线与轴围成的平面图形绕轴一周所得旋转体体积最小，求.方程通解2旋转体体积4=5令7第6页共6页十一、（本题满分8分）求级数的和函数.令，1当时，，，35=，7当，=08十二、（本题满分7分）设对任意，

4、有，，试证.证在上的一阶台劳公式为,介于与之间.2因为所以.于是,有3不等式两边在上对积分,得.4所以6又所以.即7第6页共6页