高数(非数学专业)理工类竞赛卷答案.doc

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1、学号:院系:高等数学竞赛(理工类)试卷姓名:（2006年7月6日晚7•00~9•00）一二三四五六七八总分一、单项选择题（每题4分共20分）1．方程在内实根的个数为（B）。A.0B.1C.2D.32.若在上连续且可导，，，则有（C）。A.I=1B.I<1C.I≥1D.I=03．设连续，且其中是由所围区域，则等于（D）。A．；B.；C.；D.。4.设在上可积，且区域具有轮换对称性（即若，则），则（A）。A.；B.其中为的部分区域；C.；D.以上结论均不成立。6/65.设函数都连续，且是非齐次线性微分方程

2、的通解，则（B）。A.是方程的解B.线性无关C.可能线性无关，也可能线性相关。D.线性相关二、填空题（每题4分共20分）1．设函数，则。2．设为常数，则a。在和之间，于是，3．。4.直线绕轴旋转一周所得旋转曲面方程为。5．设，且数列单调，若级数，收敛，级数是收敛还是发散？收敛。三、计算与证明题（共50分）6/61．（10分）求极限。解：考察级数，由正项级数的比值法，有则级数收敛，它的和等于所求的极限，记，则，两式相减得故2．（10分）设在上由定义，且函数在上单调不减，证明函数在上连续。证明：因为单调不

3、减，故当时有，由此得，又因为也单调不减，故当时有，即，故，由上所述当时有，由夹逼定理，即可推得在处的右连续性，即，同理可推得，由此即知函数在上连续。3.（10分）设在上单调增加，，，证明：证：由科西不等式6/6由于，上式左边非负，所以两边平方即得4.（10分）设由方程给出，且都可微，证明：证明：由隐函数存在定理，得令，则5．（10分）求幂级数的和函数。解：设幂级数的和函数为，易知此幂级数的收敛半径为，6/6又，故求解一阶线性微分方程即得。四、应用题（10分）设厦门笎筜湖的正常水量为V（体积），国家环保

4、指标规定湖中所含的污染物含量不得超过m0，2004年底经测定，湖中所含污染物的含量已经超标5倍。（为治理湖水污染，2005年市政府对笎筜湖进行了大面积的清淤）假设每年流入湖内的清净水为,流入湖内的污水为，每年流出的湖水水量为，如果不进行清淤，从2005年初起，限定排入的污水所含污染物的浓度不得超过，问至少要经过多少年，湖中污染物的含量才能达到国家规定的规范？（设湖水中的浓度是均匀的）解：设2005年后第t年污染物含量为m(t)，在时间[t,t+dt]段内，排入湖中污染物的含量为，流出湖泊的水中污染物的

5、含量为，则在时间[t,t+dt]段内湖中污染物的改变量为，又，解得，令，得。即若不进行清淤，2010年8月6/6湖中污染物的含量才能达到国家规定的规范。6/6