§3.2立体几何中地向量方法(4)及详解——向量法求线线角与线面角

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1、实用标准高二理科数学导学案班别：_____________学号：_____________姓名：___________§3.2立体几何中的向量方法（4）向量法求线线角与线面角一、学习目标1．理解直线与平面所成角的概念．2．掌握利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的求法．二、问题导学问题1：什么叫异面直线所成的角？它的范围是什么？怎样用定义法求它的大小？问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角？设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为θ，则〈a，b〉与θ，cosθ＝。问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否

2、求线面角？如图，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，θ＝〈a，n〉，则sinφ＝。三、例题探究例1．如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、的中点．求异面直线MN与所成的角．变式：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于(　　)A．30°　B．45°　　C．60°　D．90°文档大全实用标准例2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C

3、；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．变式：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ.四、练一练（时间：5分钟）1.1．若平面α的法向量为μ，直线l的方向向量为v，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是(　　)A．cosθ＝B．cosθ＝C．sinθ＝D．sinθ＝2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所

4、成角的余弦值是（）A．B．C．D．3．正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长相等，则AC1与面BB1C1C所成角的余弦值为（）A．B．C．D．文档大全实用标准4．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为(　　)A.　　　　B.C.D.5．正四棱锥S—ABCD，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC所成的角为．【参考答案】§3.2立体几何中的向量方法（4）向量法求线线角与线面角一、学习目标1．理解直线与平面所成角的概念．2．掌握利用向量方法解决线线、

5、线面、面面的夹角的求法．用向量方法求空间中的角角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝

6、cos〈a，b〉

7、＝.(0，]直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝

8、cos

9、〈a，n〉＝.[0，]二面角设二面角α—l—β的平面角为θ，平面α、β的法向量为n1，n2，则

10、cosθ

11、＝

12、cos〈n1，n1〉

13、＝.[0，π]1．求异面直线所成的角设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为θ，则〈a，b〉与θ相等或互补，∴c

14、osθ＝.2．求直线与平面所成的角如图，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，θ＝〈a，n〉，则sinφ＝

15、cosθ

16、＝

17、cos〈a，n〉

18、＝.文档大全实用标准二、问题导学问题1：什么叫异面直线所成的角？它的范围是什么？怎样用定义法求它的大小？问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角？设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为θ，则〈a，b〉与θ，cosθ＝。问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角？如图，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向

19、向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，θ＝〈a，n〉，则sinφ＝。三、例题探究例1．如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、的中点．求异面直线MN与所成的角．【答案】　60°变式：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于(　　)A．30°　B．45°　　C．60°　D．90°[答案]　D文档大全实用标准[解析]　以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，设AB＝1，A(0,0,0)，M(0,1，)，Q(，，0)，设P(

20、x,0,1)，∴＝(0,