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《§3.2.2立体几何中的向量方法(5)及详解——向量法求二面角的大小.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高二理科数学导学案班别：_____________学号：_____________姓名：___________§3.2立体几何中的向量方法（5）向量法求二面角的大小一、学习目标1．理解二面角的概念．2．掌握利用向量方法解决有关二面角的问题．二、问题导学问题1：什么叫二面角？二面角的范围是什么？怎样用定义法求二面角的大小？问题2：已知平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，＝θ，则二面角α－l－β的大小与θ有何关系？问题3：怎样用向量方法求二面角的大小？步骤如何？三、例题
2、探究例1．如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处，从A、B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d，求库底与水坝所成二面角的余弦值。变式：如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，CD＝2cm，则这个二面角的度数为________．例2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=4，求二面角C1－BD－C的正切值.10BA
3、CDS变式．如图，在在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，，AD∥BC，SA^平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求面SCD与面SAB所成锐二面角的余弦值。例3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD^底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF^PB于点F．（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求证：PB^平面EFD；（3）求二面角C－PB－D的大小．四、练一练（时间：5分钟）1．三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面
4、角A－BD－C的大小为( )A.B.C.或D.或2．在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为( )A. B．－C.D．或－3．若两个平面α，β的法向量分别是m＝(1,0,1)，n＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．4．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．5．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A
5、－BD－C的正弦值为________．10【参考答案】§3.2立体几何中的向量方法（5）向量法求二面角的大小一、学习目标1．理解二面角的概念．2．掌握利用向量方法解决有关二面角的问题．二、问题导学问题1：什么叫二面角？二面角的平面角范围是什么？怎样用定义法求二面角的平面角的大小？[0，π]问题2：已知平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，＝θ，则二面角α－l－β的大小与θ的有何关系？问题3：怎样用向量方法求二面角的大小？步骤如何？【求二面角】平面α与β相交于直线l，平
6、面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，＝θ，则二面角α－l－β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则
7、cosφ
8、＝
9、cosθ
10、＝.由于两条直线所成的角，线面角都是锐角或直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围是[0，π]，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的难点．探究1：方法提炼：求二面角大小的向量方法.法向量法：将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角．10探究2：方法提炼：求二面角大小的向量方法.方向向量法：将二
11、面角转化为二面角的两个面的方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角.三、例题探究例1．如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处，从A、B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d，求库底与水坝所成二面角的余弦值。[分析]考虑二面角时，常要考虑它的平面角，由于向量可以平移，所以所求二面角的平面角就是图中直线AC,BD所成的角或它的补角（想一想，为什么？）因此，我们首先根据题设，用向量表示线段AC与BD的方向，然后利用向量的数量积求出这个角．于是，
12、立体几何中有关夹角的问题，可以转化为有关数量积的问题．通过例1，可以培养学生空间想象能力和转化的数学思想方法．注意：1、教学中当完成本例的求解后，应引导学生从整体上认识：立体几何中的向量方法在本例中是如何具体使用的，以加深对一般解法的认识．2、本例关系到二面角的大小，一个需要注意的细节是,的方向性，即它们的夹角应恰是二面角的平面角，而不是这个平面角的补角．变式：如图，已知在一个二面角的
