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1、平面法向量在立体几何中的应用——利用法向量求二面角(一)平面的法向量的定义：n如果n,那么向量n叫做平面的法向量1、利用平面法向量求直线与平面所成的角：直线与平面所成的角等于平面的法向量所在的直线与已知直线的夹角的余角。（二）平面法向量的应用如图：直线AB与平面所成的角=(=)2ABCn例2、利用平面法向量求二面角的大小求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小mn如图：二面角的大小等于-2、利用平面法向量求二面角的大小
2、如图：二面角的大小等于mn指入、指出平面的法向量的夹角的大小就是二面角的大小。例1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的中点，求二面角M-EF-N的大小AD1C1B1A1NMFEDCB(2)AD1C1B1A1NMFEDCBxyz解：（1）建系如图所示，设正方体棱长为2,则M（0，1，2）F（1，2，0）E（2，1，2）N（1，2，2）则MF=（1,1，-2）NF=（0，0，-2）EF=（-1，1，-2），设平面ENF的法向量为n=(x,y,z),
3、EFn=0NFn=0{-x+y-2z=0-2z=0则{{x=yz=0令x=y=1,则n=(1,1,0)2AD1C1B1A1NMFEDCBxyz解：（2）建系如图，由（1）得：面ENF的法向量为n=（1，1，0），又MF=（1，1，-2）EF=（-1，1，-2）设面EMF的法向量为m=（x,y,z)，则{MF.m=0EFm=0{x+y-2z=0-x+y-2z=0{x=0y=2z令z=1,则m=(0,2,1)cos=10/5由题意可知，所求二面角为锐角，故所求二面角的大小为arccos(10/5)（2
4、）如图，在空间直角坐标系中，BC=2，原点O为BC的中点，点A的坐标是（1，1，0）点D在平面yoz上，且BDC=90º，DCB=30º,求二面角D-BA-C的大小AOzyxDCB(0,-1,0)(1,1,0)(0,1,0)E30º(0,-1/2,3/2)解：由题可知B（0，-1，0），C（0，1，0），又A（1，1，0），得AC=1，AB=5，又BC=2，ACB=90º，又BCD=30º，BDC=90º，故BD=1，CD=3，由D点向BC作垂线DE，则DE=3/2，OE=1/2，得D（0，-1/2，
5、3/2），E（0，-1/2，0），ED=(0,0,3/2),BA=(1,2,0),BD=(0,1/2,3/2),面ABC的法向量为ED，可求得面ABD的法向量为n=(23,-3,1)cos=1/4=arccos(1/4)二面角D-BA-C的大小为arccos(1/4)例例２．在四面体ABCD中，AB⊥面BCD，BC=CD，∠BCD＝ ，∠ADB=．E、F分别是AＣ、AD的中点。１）求证 平面BEF⊥平面ABC；２）求二面角ＥＦ－Ｂ－ＣＤ的大小。ＥＤＡＣＢＦxzy1.如图,正广州
6、一模2.(广州二模）如图，D,E,F分别是AB,BC,CP的中点，AB=AC=1,PA=2.(1)求直线PA和平面DEF所成的角的大小；(2)求点P到平面DEF的距离。CBPAFED小结：1、本节主要复习了法向量在求线面角和二面角方面的应用，注意所求角与法向量的联系，掌握基本的思想方法。2、立体几何问题求解的思想方法的发展趋势用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具，故，学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何的基础。3、利用法向量求点到平面的距离AB如图：点A到平
7、面的距离d=
8、BA
9、
10、cos
11、dA1n例2：已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面BDEF的距离。FED1C1B1A1DCBAFED1C1B1A1DCBA4、利用法向量证明面面垂直问题mn证明面面垂直可转化为证明它们的法向量垂直例3：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=a，CF=2a。求证:面AEF面ACF。AFEC1B1A1CBxzyAFEC1B1A1CBzy不防设a=2，
12、则A（0，0，0），B（3，1，0），C（0，2，0），E（3，1，2），F（0，2，4），AE=（3，1，2）AF=（0，2，4），因为，x轴面ACF，所以可取面ACF的法向量为m=（1，0，0），设n=（x,y,z)是面AEF的法向量，则x{nAE=3x+y+2z=0nAF=2y+4z=0{x=0y=
