浅谈如何解决向量法求二面角大小的不足

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1、浅谈如何解决向量法求二面角大小的不足求二面角的大小时，用平面的法向量法与其他方法相比，思想清晰而且推理简易，是一个较好的方法，是很多初学者乐于使用的方法。但教材中对向量法求二面角大小的解释是模糊不清的，对于初学者来说，很难掌握。以下摘取了上海教育出版社发行的《高中三年级（试验本）理科》P55中关于二面角求法的一段描述，供参考。对于二面角来说，设它的两个半平面现所在的平面的法向量分别为，两个法向量的夹角为，二面角的大小为。由图1，图2可以看出或图2图1以上我们可以看出：一个二面角的平面角与这个二面角的两个半平面

2、的法向量所成的角相等（）或互补（）。但到底是相等还是互补，在具体解题时，很多学生感到无从下手，往往任凭感觉来判断，缺乏严格的推理、证明，不严谨的求学风格也自然形成，各位同行也一定深有体会。解决这一问题的关键在于确定法向量的确切方向。引理：设点是平面内一点，点是平面外一点，是平面的法向量当时，的方向指向点所在的一侧（如图3）；4当时，的方向指向点不在的一侧（如图4）；AB图3AB图4下面，我们可以利用引理解决前面碰到的问题。设分别是平面上的两点，且都不在平面的交线上，分别是的法向量，为平面平面角。1）当时，得的

3、方向如图5所示，则；AB图5AB图62）当时，得的方向如图6所示，则；3）当时，得的方向如图7所示，则；4）当时，得的方向如图8所示，则；AB图7AB图84综上所述，当与同号时，二面角的平面角大小为；当与异号时，二面角的平面角大小为；按照这样的方法，求二面角的大小时，就可以避免不严格的问题了，而且操作简单。图9例题如图9所示,直三棱柱中，，，侧棱，侧面的两条对角线交点为，的中点为（1）求证：平面；（2）求面与面所成二面角的大小.解：（1）略（2）以为坐标原点建系，如图9所示，则，，所以：设平面的一个法向量为，

4、则：，即：，令，得；同理可得平面的一个法向量为所以4又，，所以与同号，所以所求二面角的平面角为通过以上分析，用向量法求二面角的大小时，首先求出两个半平面的法向量，再从两个半平面内任选两点A，B（不同在交线上），判断与法向量数量积的符号，确定法向量夹角与二面角大小之间的关系，便可以避免教材中求二面角大小的不足了。4