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时间:2018-01-04
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1、浅谈如何解决向量法求二面角大小的不足求二面角的大小时,用平面的法向量法与其他方法相比,思想清晰而且推理简易,是一个较好的方法,是很多初学者乐于使用的方法。但教材中对向量法求二面角大小的解释是模糊不清的,对于初学者来说,很难掌握。以下摘取了上海教育出版社发行的《高中三年级(试验本)理科》P55中关于二面角求法的一段描述,供参考。对于二面角来说,设它的两个半平面现所在的平面的法向量分别为,两个法向量的夹角为,二面角的大小为。由图1,图2可以看出或图2图1以上我们可以看出:一个二面角的平面角与这个二面角的两个半平面
2、的法向量所成的角相等()或互补()。但到底是相等还是互补,在具体解题时,很多学生感到无从下手,往往任凭感觉来判断,缺乏严格的推理、证明,不严谨的求学风格也自然形成,各位同行也一定深有体会。解决这一问题的关键在于确定法向量的确切方向。引理:设点是平面内一点,点是平面外一点,是平面的法向量当时,的方向指向点所在的一侧(如图3);4当时,的方向指向点不在的一侧(如图4);AB图3AB图4下面,我们可以利用引理解决前面碰到的问题。设分别是平面上的两点,且都不在平面的交线上,分别是的法向量,为平面平面角。1)当时,得的
3、方向如图5所示,则;AB图5AB图62)当时,得的方向如图6所示,则;3)当时,得的方向如图7所示,则;4)当时,得的方向如图8所示,则;AB图7AB图84综上所述,当与同号时,二面角的平面角大小为;当与异号时,二面角的平面角大小为;按照这样的方法,求二面角的大小时,就可以避免不严格的问题了,而且操作简单。图9例题如图9所示,直三棱柱中,,,侧棱,侧面的两条对角线交点为,的中点为(1)求证:平面;(2)求面与面所成二面角的大小.解:(1)略(2)以为坐标原点建系,如图9所示,则,,所以:设平面的一个法向量为,
4、则:,即:,令,得;同理可得平面的一个法向量为所以4又,,所以与同号,所以所求二面角的平面角为通过以上分析,用向量法求二面角的大小时,首先求出两个半平面的法向量,再从两个半平面内任选两点A,B(不同在交线上),判断与法向量数量积的符号,确定法向量夹角与二面角大小之间的关系,便可以避免教材中求二面角大小的不足了。4
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