高二理科数学《3.2立体几何中的向量方法（二）——求线线角、线面角》

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1、3.2立体几何中的向量方法（2）——求线线角、线面角教学目标1.知识与技能目标（1）掌握用向量法求异面直线所成的角；（2）掌握用向量法求直线与平面所成的角；（3）能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些求角的问题.2．过程与方法目标在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生计算的严谨性品质的培养.3．情感态度价值观目标激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神.教学重点、难点重点：异面直线所成的角，直线与平面所成的角的向量求法；难点：求角过程中角的具体确定.教学

2、过程一、复习旧知问题1：什么是异面直线所成的角？它的取值范围是什么？将异面直线在空间平行移动到相交时所夹的不大于90度的角，叫两异面直线所成的角，它的取值范围为（.归纳总结：求异面直线所成角的方法是平移.问题2：直线与平面夹角的概念是什么？取值范围是什么？如图，直线，，则即为斜线与平面的夹角.当过点的直线平行于时，它们成的角当过点的直线垂直于时，它们成的角.所以取值范围为.归纳总结：求线面角的关键是找平面的垂线.问题3：用空间向量解决立体几何问题的步骤是什么？5（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表

3、示问题中涉及到的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.二、新课引入在立体几何问题中，我们经常遇到求角的问题，那么我们今天要学习的内容是：用向量法求角.（引出课题）三、方法探究问题4：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角呢？在上取方向向量，在上取方向向量，,的夹角满足.问题5：，的夹角是否就为，的夹角呢？因为，的夹角范围为，，的夹角范围为，所以或归纳总结：异面直线所成的角

4、，与两直线方向向量间的夹角满足或，即.问题6：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角？在上取方向向量，取平面的法向量，由于，的方向关系，有以下几种情形：设线面角为，=，而，因此求线面角通常转化为求线线角，常用向量的数量积解决.归纳总结：设为线面角,再求出平面的法向量与直线的方向向量所成的角.若5为锐角，则；若为钝角，则，即.四、例题分析例1．和所在的平面互相垂直，且，，求：（1）直线与直线所成角的大小；（2）直线与平面所成角的大小.解法一：.（基向量法）解法二：（坐标法）设，作于点，连.以点为原点

5、，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：，，，，.（1），所以与所成角等于.（2），，.所以与平面所成角等于.变式：求直线与面所成角的正弦.解析：设平面的法向量为，，，，，，，令直线与面所成角的正弦为.5五．巩固练习：一条线段夹在一直二面角的两个半平面内，与两个半平面所成角都是，求这条线段与这个二面角的棱所成角的大小.Q解法一：不妨设这条线段长为2，则点到二面角的棱的距离，点到二面角的棱的距离，，.（基向量法）解法二：如图建立直角坐标系，设长度为2，则N（1，0，0），（0，，0），（0，

6、，1），，，与所成角为.（坐标法）解法三：画一个长方体与面面所成角都为，也可用传统几何方法的平移法.归纳总法：有两个平面垂直的条件可放在正方体长方体中解决.探究1：一条线段夹在一直二面角的两个半平面内，与两个半平面所成角一个是，一个是，求这条线段与这个二面角的棱所成角的大小.解：作于，连接，，.为与所成角探究2：一条线段夹在一直二面角的两个半平面内，与两个半平面所成角一个是，一个是，求这条线段与这个二面角的棱所成角的大小.（根据情况而定）（1），则与所成角为；（2），设，到的距离为，，到的距离，5（3），这种

7、情况不可能发生.备用练习：平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且求与夹角的余弦值.（基向量法）解：，，设与的夹角为，六、课堂小结：1．异面直线，的方向向量为a，b，则与所成的角即为a、b所成的夹角或其补角；2．要求直线与平面所成的角，先求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角，然后用计算出结果即可；3．求角过程中注意定义中角的取值范围，对所得的数量积作相应的调整，注意运用图象.七、课后作业：《习案》三十三.5