高二理科数学《3..2立体几何中的向量方法（四）——求二面角》

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1、3..2立体几何中的向量方法（四）——求二面角复习旧知1.二面角、二面角的平面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面组成的空间图形.二面角的平面角：在二面角的棱l上任取一点O，以O的垂足，在半平面a和b内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的角∠AOB叫做二面角的平面角．特别地，平面角是直角的二面角叫直二面角．注意：①二面角的大小是通过其平面角的大小来度量；②二面角的取值范围是[0,p].2.平面的法向量如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面a则称这个向量垂直于平面，记作⊥a；如

2、果⊥a，那么向量叫做平面的法向量．注意：①给定一点A和一个向量，那么过点A，以向量为法向量的平面是完全确定的;②法向量一定是非零向量；③一个平面的所有法向量都相互平行；④向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有3.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；③把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．探究1：方法提炼：求二

3、面角大小的向量方法.法向量法：将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角．探究2：方法提炼：求二面角大小的向量方法.方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角.【点评】若图中存在（或易找到）三条互相垂直的直线，通过建系，利用法向量求二面角比较方便.例2.如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处，从A、B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d，求库底与水坝所成二面角的余弦值.【点评】若二面角的二个面

4、内都有(或易作)棱的垂线,常用方向向量法求解.课堂练习1.如图，在二面角a-AB-b内，线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，，求此二面角的大小.2.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝0.5.(1)求证：平面SAB⊥平面ABCD；(2)求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值.3.正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，当AB1⊥BC1时，求二面角D

5、-BC1-C的余弦值.课堂小结1.二面角的有关概念；2.二面角的向量求法：法一：法向量法，法二：方向向量法.注意：(1)用法向量法求二面角时，注意结合图形确定二面角是钝二面角还有锐二面角（或利用“同进同出，二面角等于法向量的夹角的补角，一进一出，二面角等于法向量的夹角”）(2)用方向向量法求二面角时，应先在二面角的二个半平面内分别找（或作）出与棱垂直的两直线，再利用直线方向向量计算；(3)保证计算过程的准确性，一失足，千古恨．课后作业《习案》作业（三十四）.