高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布检测含解析

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1、2.4正态分布A级　基础巩固一、选择题1．设随机变量X～N(1，22)，则D＝(　　)A．4　　　　　B．2　　　　　C.　　　　　D．1解析：因为X～N(1，22)，所以D(X)＝4.所以D＝D(X)＝1.答案：D2．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有(　　)A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1＜μ2；σ反映的正态分布的离散

2、程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由题图可知σ1＜σ2.答案：A3．(2015·山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(　　)[附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%解析：由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.6826，P(－6＜ξ＜6)＝0.954

3、4，4故P(3＜ξ＜6)＝＝＝0.1359＝13.59%.答案：B4．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为(　　)A．0.9B．0.5C．0.6D．0.8解析：因为ξ服从正态分布N(1，σ2)，所以正态密度曲线的对称轴是直线x＝1，因为ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，所以根据正态曲线的性质知在(0，2)内取值的概率为0.8，故选D.答案：D5．已知某批材料的个体强度X服从正态分布N(200，182)，现从中任取一件，则取得的这件材料的

4、强度高于182但不高于218的概率为(　　)A．0.9973B．0.6826C．0.8413D．0.8159解析：由题意知μ＝200，σ＝18，μ－σ＝182，μ＋σ＝218，由P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，答案应选B.答案：B二、填空题6．已知随机变量ξ服从正态分布，且落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.答案：0.27．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1

5、)里的概率和落在区间(3，5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．解析：由题意知区间(－3，－1)与(3，5)关于直线x＝μ对称，因为区间(－3，－1)和区间(3，5)关于x＝1对称，所以正态分布的数学期望为1.答案：18．若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________．解析：由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x＝10为对称轴知，P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4，即P(10≤ξ≤11)＝0.2，4又P(ξ≥10)＝0.5，所以P(ξ≥1

6、1)＝0.5－0.2＝0.3.答案：0.3三、解答题9．设X～N(1，22)，试求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．解：因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.6826.(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3＜X≤－1)，所以P(3＜X≤5)＝[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝

7、(0.9544－0.6826)＝0.1359.10.已知某地农民工年均收入ξ(单位：元)服从正态分布，其密度函数图象如图所示．(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；(2)求此地农民工年均收入在8000～8500元的人数百分比．解：设农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)，结合图象可知μ＝8000，σ＝500.(1)此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式P(x)＝e－＝e－，x∈(－∞，＋∞)．(2)因为P(7500<ξ≤8000)＝P(8000－500<ξ≤8000＋500)＝0.6826.所以P(8000<ξ≤8500)＝

8、P(7500<ξ≤8500)＝0.3413，即农民工年均收入在8000～8500元的人数占总体的34.13%.4B级　能力提升1．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(

9、ξ－μ

10、