高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布学案含解析

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1、2.4正态分布正态曲线及正态分布1．正态曲线函数φμ，σ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．随机变量X落在区间(a，b]的概率为P(a＜X≤b)≈φμ，σ(x)dx，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是X落在区间(a，b]的概率的近似值，如图．2．正态分布如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服

2、从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．参数μ和σ的意义：正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ就是随机变量X的均值，它可以用样本的均值去估计；参数σ就是随机变量X的标准差，它可以用样本的标准差去估计．把μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布.正态曲线的特点及3σ原则1．正态曲线的特点正态曲线φμ，σ(x)＝e－，x∈R有以下特点：(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；10(3)曲线在x＝μ处达到峰值(最大值)；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的

3、形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2．3σ原则正态分布在三个特殊区间内取值的概率：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6；P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.正态曲线的特点的理解特点(1)说明函数的值域为正实数的子集，且以x轴为渐近线；特点(2)是曲线的对称性，曲线关于直线x＝μ对称；特点(3)说明函数在x＝μ时取得最大值；特点(4)说明正态分布的随机变量在(－∞，＋∞)内取值的概率为1；特点(6)说明当均值一定，σ变化时，总体分布的集中、离散程度．正态曲线

4、的图象和性质　　　如图是一个正态曲线．试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的均值和方差．　从正态曲线的图象可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，所以μ＝20，＝，解得σ＝.于是概率密度函数的解析式为10φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则

5、有(　　)A．μ1<μ2，σ1<σ2　　　　B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2解析：选A　μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2；σ反映的是正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2正态分布中的概率计算　设随机变量X～N(1,22)，试求：(1)P(－1

6、59.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法10(1)熟记P(μ－σ5)．解：P(X>5)＝P(X≤－3)＝＝＝0.0228.正态分布的实际应用　设在一次数学考试中，某班学生的成绩X～N(110,202)，且知满分是150分，这个班的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数．　　因为X～N(110,202)，

7、所以μ＝110，σ＝20，P(110－20＜X≤110＋20)＝0.6826.于是X＞130的概率为×(1－0.6826)＝0.1587，X≥90的概率为0.6826＋0.1587＝0.8413，故及格的人数为54×0.8413≈45(人)，130分以上的人数为54×0.1587≈9(人)．解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向P(μ－σ