高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程2圆的参数方程学案含解析

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1、2．圆的参数方程圆的参数方程(1)在t时刻，圆周上某点M转过的角度是θ，点M的坐标是(x，y)，那么θ＝ωt(ω为角速度)．设

2、OM

3、＝r，那么由三角函数定义，有cosωt＝，sinωt＝，即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(t为参数)．其中参数t的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．(3)若圆心在点M0(

4、x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为(0≤θ＜2π)．　　　　　　　　　　求圆的参数方程　圆(x－r)2＋y2＝r2(r＞0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，求圆的参数方程．　根据圆的特点，结合参数方程概念求解．　如图所示，　　设圆心为O′，连接O′M，∵O′为圆心，∴∠MO′x＝2φ.∴(φ为参数)(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成(φ为参数)(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．51．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出

5、它的参数方程．解：x2＋y2＝2x的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，设x－1＝cosθ，y＝sinθ，则参数方程为(θ为参数，0≤θ＜2π)．2．已知点P(2,0)，点Q是圆上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M(x，y)．则即(θ为参数)．这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以为半径的圆.　　　　　　　　　圆的参数方程的应用　若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值．　(x－1)2＋(y＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x＋y的最

6、值转化为求三角函数最值问题．　令x－1＝2cosθ，y＋2＝2sinθ，则有x＝2cosθ＋1，y＝2sinθ－2，故2x＋y＝4cosθ＋2＋2sinθ－2.＝4cosθ＋2sinθ＝2sin(θ＋φ)．∴－2≤2x＋y≤2.即2x＋y的最大值为2，最小值为－2.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．求原点到曲线C：(θ为参数)的最短距离．解：原点到曲线C的距离为：＝＝＝＝≥＝＝－2.5∴原点到曲线C的最短距离为－

7、2.4．已知圆C：(θ为参数)与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．解：法一：∵消去θ，得x2＋(y＋1)2＝1，∴圆C的圆心为(0，－1)，半径为1.∴圆心到直线的距离d＝≤1.解得1－≤a≤1＋，即a的取值范围是．法二：将圆C的方程代入直线方程，得cosθ－1＋sinθ＋a＝0，即a＝1－(sinθ＋cosθ)＝1－sin.∵－1≤sin≤1，∴1－≤a≤1＋，即a的取值范围是．课时跟踪检测(八)一、选择题1．圆的参数方程为：(θ为参数)．则圆的圆心坐标为(　　)A．(0,2)B．(0，－

8、2)C．(－2,0)D．(2,0)解析：选D　将化为(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2,0)．2．直线：x＋y＝1与曲线(θ为参数)的公共点有(　　)A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选C　将化为x2＋y2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于＝<2＝r，故直线与圆相交，有两个公共点．3．直线：3x－4y－9＝0与圆：(θ为参数)的位置关系是(　　)A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心解析：选D　圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d＝<

9、2，故选D.4．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(　　)A．36B．6C．26D．255解析：选A　设P(2＋cosα，sinα)，代入，得(2＋cosα－5)2＋(sinα＋4)2＝25＋sin2α＋cos2α－6cosα＋8sinα＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36.二、填空题5．参数方程(φ为参数)表示的图形是________．解析：x2＋y2＝(3cosφ＋4sinφ)2＋(4cosφ－3sinφ)2＝25.∴表示圆．答案：圆6．已知圆C的

10、参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________．解析：由极坐标系与直角坐标系互化关系可知，直线l的直角坐标方程为x＝1.由圆C的参数方程可得x2＋(y－1)2＝1，由得直线l与圆C的交点坐标为(1,1)．答案：(1,1)7．(广东高考)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，