高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程1参数方程的概念学案含解析

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1、一曲线的参数方程1．参数方程的概念1．参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫做普通方程．2．参数的意义参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．　　　　　　　　　　求曲线的参数方程　如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，

2、腰长为a，顶点B，A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程．　此类问题的关键是参数的选取．本例中由于A，B的滑动而引起点P的运动，故可以OB的长为参数，或以角为参数，不妨取BP与x轴正向夹角为参数来求解．　法一：设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于点Q.如图所示，则Rt△OAB≌Rt△QBP.取OB＝t，t为参数(0＜t＜a)．∵

3、OA

4、＝，∴

5、BQ

6、＝.∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为(0＜t＜a)．法二：设点P的坐标为(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如

7、图所示．6取∠QBP＝θ，θ为参数，则∠ABO＝－θ.在Rt△OAB中，

8、OB

9、＝acos＝asinθ.在Rt△QBP中，

10、BQ

11、＝acosθ，

12、PQ

13、＝asinθ.∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为.求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定．例如，在研

14、究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”，直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．1．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速度运动，角速度为rad/s，试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．6解：如图，运动开始时质点位于点A处，此时t＝0，设动点M(x，y)对应时刻t，由图可知(θ为参数)，又θ＝t，故参数方程为(t为参数)．2

15、．选取适当的参数，把直线方程y＝2x＋3化为参数方程．解：选t＝x，则y＝2t＋3.由此得直线的参数方程为(t为参数)．也可选t＝x＋1，则y＝2t＋1.参数方程为(t为参数).　　　　　　　　参数方程表示的曲线上的点　已知曲线C的参数方程是(t为参数)．(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．　由参数方程的概念，只需判断对应于点的参数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲线上．　(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，得

16、解得t＝0.∴点M1在曲线C上．同理，可知点M2不在曲线C上．(2)∵点M3(6，a)在曲线C上，∴解得t＝2，a＝9.∴a＝9.参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的．3．曲线(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为(　　)A．(－1＋cosθ，sinθ)　　　B．(1＋sinθ，cosθ)C．(－1＋2cosθ，2sinθ)D．(1＋2cosθ，2sinθ)解析：选D　将点的坐标代入方程，使方程成立的即可．4．已知某条曲线C的参数方程为(其中

17、t为参数，a∈R)，点M(5,4)在该曲线上，求常数a.6解：∵点M(5,4)在曲线C上，∴解得∴a的值为1.课时跟踪检测(七)一、选择题1．下列方程可以作为x轴的参数方程的是(　　)A.(t为参数)B.(t为参数)C.(θ为参数)D.(t为参数)解析：选D　x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.2．已知曲线C的参数方程为(θ为参数，π≤θ<2π)，若点Μ(14，a)在曲线C上，则a等于(　　)A．－3－5B．－3＋5C．－3＋D．－3－解析：选A　∵(14，a)在曲线C上，∴由①，得cosθ＝.又

18、π≤θ＜2π，∴sinθ＝－＝－，∴tanθ＝－.∴a＝5·(－)－3＝－3－5.3．在方程(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为(　　)A．(2，－7)B.C.D．(1,0)解析：选C　将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C满足条件．4．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为(　　)A.B.C.D.解析：选A　设(x，y)为所求轨迹上任一点．由x2＋y2－4t