高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程学案

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1、一　曲线的参数方程1．了解学习参数方程的必要性．2．理解参数方程、普通方程的概念，通过比较参数方程和普通方程，体会两者的联系与区别．3．掌握圆的参数方程及其参数的意义．4．能用圆的参数方程解决一些简单问题．5．能进行普通方程和参数方程的互化．1．参数方程的概念(1)在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数(*)，并且对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的________，联系变数x，y的变数t叫做______

2、，简称______．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做________．(2)参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有几何意义或物理意义的变数，也可以是无实际意义的变数．(1)参数t是联系x，y的桥梁，它可以有物理意义或几何意义，也可以是没有明显实际意义的变数．(2)参数的选取一般需注意两点：①x，y的值可由参数惟一确定；②参数与x，y的关系比较明显，容易列出方程．(3)参数可根据具体条件选取，如时间、线段长度、方位角、旋转角等．【做一做1】与普通方程xy＝1表示相同曲线的参数方程(t

3、为参数)是(　　)．A.B.C.D.2．圆的参数方程(1)在时刻t，圆周上某点M转过的角度是θ，点M的坐标是(x，y)，那么θ＝ωt(ω为角速度)．设

4、OM

5、＝r，那么由三角函数定义，有cosωt＝______，sinωt＝______，即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(t为参数)．其中参数t的物理意义是______．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为________．其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时的位置)绕点O____时针旋转到____

6、的位置时，OM0转过的角度．给定参数方程，其中a，b是常数．(1)如果r是常数，α是参数，那么参数方程表示的曲线是圆心为(a，b)，半径为r的圆；(2)如果α是常数，r是参数，那么参数方程表示的曲线是过定点(a，b)，斜率为tanα(α≠kπ＋，k∈Z)的直线．【做一做2】直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(θ为参数)的圆心位于(　　)．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的________和________是曲线方程的不同形式．(2)在参数方程

7、与普通方程的互化中，必须使________保持一致．【做一做3－1】将参数方程(θ为参数)化为普通方程为__________．【做一做3－2】已知圆的方程为x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，将它化为参数方程．答案：1．(1)参数方程　参变数　参数　普通方程【做一做1】　D2．(1)　　质点作匀速圆周运动的时刻(2)(θ为参数)　逆　OM【做一做2】　B　直线y＝ax＋b通过一、二、四象限，则a＜0，b＞0，∴圆心(a，b)在第二象限．3．(1)参数方程　普通方程(2)x，y的取值范围【做一做3－1】　(x

8、－1)2＋y2＝4　由两式平方相加，得(x－1)2＋y2＝4.【做一做3－2】　解：由x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，得(x＋1)2＋(y－3)2＝1.令x＋1＝cosθ，y－3＝sinθ，所以参数方程为(θ为参数)．1．曲线参数方程的特点剖析：曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x，y间的间接联系．在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的

9、一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着参数相应的值．在具体问题中，如果要求相应曲线的参数方程，首先就要注意参数的选取．一般来说，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x，y)都能由参数取某一值惟一地确定出来；二是参数与x，y的相互关系比较明显，容易列出方程．参数的选取应根据具体条件来考虑，可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动点的坐标等．有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方

10、程．但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．2．求曲线参数方程的步骤剖析：第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择坐标原点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数惟一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转