高中数学第三章导数及其应用3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数学案新人教b版

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1、3．1.1　函数的平均变化率3．1.2　瞬时速度与导数1．理解函数在某点附近的平均变化率．(重点)2．会求函数在某点处的导数．(难点)3．了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易错点)[基础·初探]教材整理1　变化率问题阅读教材P75～P76例1以上，完成下列问题．函数的变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：＝.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx表示x2－x1是相对于x1的一个增量，Δx可以为零．(　　)(2)Δy表示f(x2)－

2、f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零．(　　)(3)表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．(　　)【答案】　(1)×　(2)√　(3)√教材整理2　导数的概念阅读教材P78～P81例以上部分，完成下列问题．1．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率(1)定义式：＝.(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．72．函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝＝.判断

3、(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　)(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　)(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　)(4)函数f(x)＝x在x＝0处的瞬时变化率为0.(　　)【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：___________________

4、___________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型]平均变化率　(1)函数y＝f(

5、x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________．(2)已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上的一点A(－1，－2)及临近一点B(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝________.【导学号：25650096】【自主解答】　(1)函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为7＝＝＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.(2)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δ

6、x)2＋(－1＋Δx)－[－(－1)2＋(－1)]＝－(Δx)2＋3Δx，∴＝＝－Δx＋3.【答案】　(1)6x0＋3Δx　12.3　(2)－Δx＋3求平均变化率的主要步骤1．计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．2．计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.3．得平均变化率＝.[再练一题]1．求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，在哪一点附近平均变化率最大？【解】　在x＝1附近的平均变化率为：k1＝＝＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为：k2＝＝＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为：k3＝＝＝6＋Δx.若Δx＝，则k1＝2＋＝，

7、k2＝4＋＝，7k3＝6＋＝.由于k1＜k2＜k3，故在x＝3附近的平均变化率最大．求瞬时速度　若一物体的运动方程为s＝(路程单位：m，时间单位：s)．求：(1)物体在t＝3s到t＝5s这段时间内的平均速度；(2)物体在t＝1s时的瞬时速度．【精彩点拨】　根据问题选择对应的函数解析式→根据平均速度和瞬时速度的概念求解【自主解答】　(1)因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt＝2s，所以物体在t＝3s到t＝5s这段时间内的平均速度为＝＝24(m/s)．(2)因为Δs＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt)2－12Δ