2017_18版高中数学第三单元导数及其应用3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数教学案

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1、3．1.1　函数的平均变化率3．1.2　瞬时速度与导数学习目标　1.了解导数概念的实际背景，理解平均变化率和瞬时速度.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．知识点一　函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．思考1　若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变

2、量分别是多少？　　思考2　怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？　　思考3　观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率＝表示什么？　9　梳理　函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：＝.(2)实质：____________的增量与____________的增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的________．知识点二　瞬时变化率思考1　物体的路程s与时间t的

3、关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．　思考2　当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？　梳理　(1)物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当________________时，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率为________________趋近于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度．(2)函数的瞬时变化率设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δ

4、x)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率____________趋近于一个常数l，则数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．知识点三　函数在某一点处的导数与导函数思考　f′(x0)与f′(x)表示的意义一样吗？　9梳理　(1)函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的________________称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作____________，即f′(x0)＝________________.(2)导函数定义如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)

5、在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个________________，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为f′(x)(或y′x、y′)．(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)

6、x＝x0.类型一　函数的平均变化率例1　(1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率；②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增

7、量Δy和平均变化率.(2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？　反思与感悟　求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；(3)得平均变化率＝.跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则＝________.(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；

8、函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．9类型二　求瞬时速度例2　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度．引申探究　1．若本例的条件不变，试求物体的初速度．2．若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.反思与感悟　(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．②求平均速度＝

9、.③求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝s′(t0)．跟踪训练2　一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．　类型三　求函数在某一点处的导数例3　求函数f(x)