2019_2020学年高中数学第3章导数及其应用3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数学案新人教B版

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1、3.1.1　函数的平均变化率3.1.2　瞬时速度与导数学习目标核心素养1.了解导数概念的实际背景，理解平均变化率和瞬时速度．(易混点)2.会求函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x)．(重点)3.会利用导数的定义求函数在f(x)的导函数f′(x)．(难点)1.由实际背景变化率到导数的概念，培养学生的数学抽象素养.2.通过利用定义求函数在某点处导数的学习提升学生的数学运算素养.1．函数的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：＝.(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)几何意义：

2、已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率．思考1：观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率＝表示什么？[提示]　表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．2．瞬时变化率(1)物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当t0到t0＋Δt时，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率为趋近于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度．(2)函数的瞬时变化率设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δ

3、x时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，则常数l称为函数f(x)在点x0处的瞬时变化率．3．函数在某一点处的导数与导函数(1)函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

4、，即f′(x0)＝.(2)导函数定义如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把

5、这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为f′(x)(或y′x、y′)．(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)

6、x＝x0.思考2：f′(x0)与f′(x)表示的意义一样吗？[提示]　f′(x0)表示f(x)在x＝x0处的导数，是一个确定的值．f′(x)是f(x)的导函数，它是一个函数．f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．1．已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)A．0.40　　B．0.41C．0.43D．0.44B　[由Δy＝f(Δx

7、＋2)－f(2)＝(0.1＋2)2－4＝0.41，知选B.]2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　)A．4　　　　B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2C　[＝＝＝4＋2Δx.]3．质点按规律s(t)＝at＋1运动，若t＝2时刻的瞬时速度为，则a的值为________．　[＝a＝]函数的平均变化率【例1】　(1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率；②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率.(2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝

8、1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？[解]　(1)因为f(x)＝2x2＋3x－5，所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.＝＝2Δx＋4x1＋3.①当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，＝21.②当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92.＝2Δx＋4x1＋3＝19.2.(2)在x＝1

9、附近的平均变化率为k1＝＝＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝＝＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝＝＝6＋Δx.当Δx＝时，k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.由于k1