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时间:2019-06-29
《高中数学专题1.1变化率与导数试题新人教a版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.1变化率与导数1.平均变化率设函数,我们把式子___________称为函数从到的平均变化率.习惯上用表示,即.函数的变化量是,于是,平均变化率可以表示为.其几何意义是函数图象上的两点所在直线的___________.注意:是一个整体符号,而不是与相乘.2.瞬时速度物体在不同时刻的速度是不同的,我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.设物体的运动规律为,则该物体在时刻的瞬时速度就是物体在到这段时间内,当无限趋近于0时,___________无限趋近的常数.3.导数的概念一般地,函数在处的瞬时变化率是,我们称它为函数在处的导数,记作___________,即.注意:不可以是0.4.
2、导数的几何意义函数在处的导数,就是曲线在处的切线的___________,即.5.导函数对于函数,当时,是一个确定的数.这样,当变化时,___________便是一个关于的函数,我们称它为的导函数(简称导数).的导函数有时也记作___________,即.注意:函数在处的导数与导函数是不同的,前者是一个数值,后者是一个函数,它们之间的关系是:函数在处的导数就是导函数在处的函数值.16K知识参考答案:1.斜率2.3.或4.斜率5.K—重点平均变化率的概念、导数的概念、导数的几何意义、导函数K—难点导数的几何意义K—易错(1)运用定义求导数时容易忽略增量的一致性;(2)求切线方程时,错把
3、所给点当做切点,或者混淆“某点处”和“过某点”求平均变化率求函数从到的平均变化率的三个步骤:(1)求出或者设出自变量的改变量:;(2)根据自变量的改变量求出函数值的改变量:;(3)求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值,即.求函数在附近的平均变化率,取都为,在哪一点附近的平均变化率最大?【答案】在附近的平均变化率最大.【解析】在附近的平均变化率为;在附近的平均变化率为;在附近的平均变化率为.若,则,,,由于,所以在附近的平均变化率最大.【名师点睛】由求平均变化率的步骤可知,找准自变量的改变量和因变量的改变量是解题的关键.求函数在某点处的导数16(1)求函数在某点处的导数、求瞬时变化
4、率的步骤简称为一差、二比、三极限.(2)利用定义求函数在处的导数的两个注意点:①在求平均变化率时,要注意对的变形与约分,变形不彻底可能导致不存在.②当对取极限时,一定要把变形到当时,分母是一个非零常数的形式.(1)求函数在处的导数;(2)有一作直线运动的物体,其位移与时间的关系是,求此物体在时的瞬时速度.【答案】(1)函数在处的导数为;(2)此物体在时的瞬时速度为.【解析】(1)∵,∴.由,得.【名师点睛】(1)极限思想是趋近的思想,当平均变化率无限接近于瞬时变化率时,这个瞬时变化率就是平均变化率的极限.(2)求瞬时速度应先求平均速度,再用公式求得瞬时速度.如果物体的运动方程是,那么
5、函数在处的导数就是物体在时的瞬时速度.求曲线的切线(1)如果所给点就是切点,一般叙述为“在点P处的切线”,此时只要求函数在点处的导数,即得切线的斜率,再根据点斜式写出切线方程.16(2)如果所给点P不是切点,应先设出切点,再求切线方程.要特别注意“过点P的切线”这一叙述,点P不一定是切点,也不一定在曲线上.已知曲线.(1)求曲线上横坐标为2的点处的切线方程;(2)第(1)小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点?【答案】(1);(2)切线与曲线C的公共点除切点外,还有其他的公共点.故曲线在点处的切线方程为,即.(2)由得,解得,.从而求得公共点为,.即切线与曲线C的公共点除切点外,还有
6、其他的公共点.【名师点睛】解答第(1)小题,可先求出切点坐标及斜率,然后利用直线的点斜式方程写出切线方程;解答第(2)小题,可把(1)中求得的直线方程与已知的曲线方程组成方程组,求方程组的解.同时应注意:导数的几何意义中所说的点应在曲线上,否则函数在该点处的导数不是斜率.忽略增量的一致性而致错设函数在处可导,则A.B.C.D.【错解】,故选A.【错因分析】本题分子中的增量是,而分母中的增量是,两者的增量不一致.【正解】函数在处可导,所以,所以16.故选B.【名师点睛】在导数的概念中,分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致.求切线方程时混淆“某点处”和“过某点”而致错求过点,且与
7、曲线相切的直线方程.【错解】因为,所以,则切线方程为,即.【错因分析】点不在曲线上,而错解中把它当做曲线上的切点求解,从而致错.【正解】点不在曲线上,设切点坐标为.因为,所以切线斜率为.又,所以或.当时,切线斜率为,则过点的切线方程为,即;当时,切线斜率为,则过点的切线方程为,即.故所求切线方程为或.【名师点睛】求关于曲线的切线方程时,一定要弄清楚是求某点处的切线方程,还是求过某点的切线方程,前者可以直接利用直线的点斜式方程求解,后者则需要先设出切点坐标,
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