高中数学专题1.1变化率与导数试题新人教a版

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1、1.1变化率与导数1．平均变化率设函数，我们把式子___________称为函数从到的平均变化率．习惯上用表示，即．函数的变化量是，于是，平均变化率可以表示为．其几何意义是函数图象上的两点所在直线的___________．注意：是一个整体符号，而不是与相乘．2．瞬时速度物体在不同时刻的速度是不同的，我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．设物体的运动规律为，则该物体在时刻的瞬时速度就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，___________无限趋近的常数．3．导数的概念一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作___________，即．注意：不可以是0．4．

2、导数的几何意义函数在处的导数，就是曲线在处的切线的___________，即．5．导函数对于函数，当时，是一个确定的数．这样，当变化时，___________便是一个关于的函数，我们称它为的导函数（简称导数）．的导函数有时也记作___________，即．注意：函数在处的导数与导函数是不同的，前者是一个数值，后者是一个函数，它们之间的关系是：函数在处的导数就是导函数在处的函数值．16K知识参考答案：1．斜率2．3．或4．斜率5．K—重点平均变化率的概念、导数的概念、导数的几何意义、导函数K—难点导数的几何意义K—易错（1）运用定义求导数时容易忽略增量的一致性；（2）求切线方程时，错把

3、所给点当做切点，或者混淆“某点处”和“过某点”求平均变化率求函数从到的平均变化率的三个步骤：（1）求出或者设出自变量的改变量：；（2）根据自变量的改变量求出函数值的改变量：；（3）求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值，即．求函数在附近的平均变化率，取都为，在哪一点附近的平均变化率最大？【答案】在附近的平均变化率最大．【解析】在附近的平均变化率为；在附近的平均变化率为；在附近的平均变化率为．若，则，，，由于，所以在附近的平均变化率最大．【名师点睛】由求平均变化率的步骤可知，找准自变量的改变量和因变量的改变量是解题的关键．求函数在某点处的导数16（1）求函数在某点处的导数、求瞬时变化

4、率的步骤简称为一差、二比、三极限．（2）利用定义求函数在处的导数的两个注意点：①在求平均变化率时，要注意对的变形与约分，变形不彻底可能导致不存在．②当对取极限时，一定要把变形到当时，分母是一个非零常数的形式．（1）求函数在处的导数；（2）有一作直线运动的物体，其位移与时间的关系是，求此物体在时的瞬时速度．【答案】（1）函数在处的导数为；（2）此物体在时的瞬时速度为．【解析】（1）∵，∴．由，得．【名师点睛】（1）极限思想是趋近的思想，当平均变化率无限接近于瞬时变化率时，这个瞬时变化率就是平均变化率的极限．（2）求瞬时速度应先求平均速度，再用公式求得瞬时速度．如果物体的运动方程是，那么

5、函数在处的导数就是物体在时的瞬时速度．求曲线的切线（1）如果所给点就是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数在点处的导数，即得切线的斜率，再根据点斜式写出切线方程．16（2）如果所给点P不是切点，应先设出切点，再求切线方程．要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上．已知曲线．（1）求曲线上横坐标为2的点处的切线方程；（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？【答案】（1）；（2）切线与曲线C的公共点除切点外，还有其他的公共点．故曲线在点处的切线方程为，即．（2）由得，解得，．从而求得公共点为，．即切线与曲线C的公共点除切点外，还有

6、其他的公共点．【名师点睛】解答第（1）小题，可先求出切点坐标及斜率，然后利用直线的点斜式方程写出切线方程；解答第（2）小题，可把（1）中求得的直线方程与已知的曲线方程组成方程组，求方程组的解．同时应注意：导数的几何意义中所说的点应在曲线上，否则函数在该点处的导数不是斜率．忽略增量的一致性而致错设函数在处可导，则A．B．C．D．【错解】，故选A．【错因分析】本题分子中的增量是，而分母中的增量是，两者的增量不一致．【正解】函数在处可导，所以，所以16．故选B．【名师点睛】在导数的概念中，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．求切线方程时混淆“某点处”和“过某点”而致错求过点，且与

7、曲线相切的直线方程．【错解】因为，所以，则切线方程为，即．【错因分析】点不在曲线上，而错解中把它当做曲线上的切点求解，从而致错．【正解】点不在曲线上，设切点坐标为．因为，所以切线斜率为．又，所以或．当时，切线斜率为，则过点的切线方程为，即；当时，切线斜率为，则过点的切线方程为，即．故所求切线方程为或．【名师点睛】求关于曲线的切线方程时，一定要弄清楚是求某点处的切线方程，还是求过某点的切线方程，前者可以直接利用直线的点斜式方程求解，后者则需要先设出切点坐标，