第八讲 平面向量及向量的应用

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1、第八讲平面向量及向量的应用一、主干知识整合1.向量的概念(1)概念：既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模．长度为0，方向任意的向量为零向量，0与任一非零向量共线．(2)向量夹角：a，b的夹角记为〈a，b〉，范围是.(3)投影：〈a，b〉＝θ，cosθ叫做b在a方向上的投影．投影是数量．2．向量的运算与重要法则(1)加法、减法运算：a＋b为平行四边形法则，a－b为三角形法则；(2)数乘运算：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb；(3)数量积运算：a·b＝b

2、·a，(a＋b)·c＝a·c＋b·c，(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)．3．两非零向量平行、垂直的充要条件(1)共线条件：a，b(b≠0)共线⇔存在λ，a＝λb，坐标表示为(x1，y1)＝λ(x2，y2)⇔x1y2＝x2y1；(2)垂直条件：a⊥b⇔a·b＝0，坐标表示为x1x2＋y1y2＝0.二、要点热点探究►　探究点一　向量的概念及线性运算例1(1)[2012·广东卷]若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝(　　)A．(－2，－4)B．(2,4)C．(6,10)D．(－6，－10)(2)在△ABC所在的

3、平面内有一点P，如果2＋＝－，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是(　　)A.B.C.D.►　探究点二　平面向量的数量积问题例2(1)[2012·课程标准卷]已知向量a，b夹角为45°，且

4、a

5、＝1，

6、2a－b

7、＝，则

8、b

9、＝________.(2)[2012·天津卷]已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，则λ＝(　　)A.B.C.D.变式题平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于(　　)A.B.C.D.►　探究点三　有关向量的平行、垂直问

10、题例3(1)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则

11、a＋b

12、＝(　　)A.B.C．2D．10(2)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且

13、a

14、＝

15、b

16、变式题(1)在△ABC中，若＝·＋·＋·，则△ABC是(　　)A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形(2)如图2－8－1，已知

17、

18、＝3，

19、

20、＝1，·＝0，∠AOP＝，若＝t＋，则实数t等于(　　)图2－8－1A.B.C.D．3►

21、　探究点三　平面向量的综合应用例4[2012·安徽卷]若平面向量a，b满足

22、2a－b

23、≤3，则a·b的最小值是________．运算求解能力——建立平面直角坐标系解决向量数量积问题示例[2012·北京卷]已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________.·的最大值为________．[跟踪练]1．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，动点P在梯形ABCD内运动(含边界)，设＝α·＋β·，则α＋β的最大值是(　　)A.B.C．1D.2．在△ABC中，∠BAC＝120

24、°，

25、

26、＝2，

27、

28、＝1，点P满足＝λ(0≤λ≤1)，则2－·的取值范围是(　　)A.　B.　C.　D.备用例题：例1　　[2012·山东卷]如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．例2　[2012·安徽卷]在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是(　　)A．(－7，－)B．(－7，)C．(－4，－2)D．(－

29、4，2)例3　　[2012·广东卷]对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若平面向量a，b满足

30、a

31、≥

32、b

33、>0，a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝(　　)A.B．1C.D.参考答案：例1（1）A(2)A例2（1）(2)A例2变式题C例3（1）B(2)C例3变式题(1)D(2)B例4：示例：1、1【跟踪练】（1）A(2)D备用例题：例1：[答案](2－sin2,1－cos2)[解析]根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点P旋转了2弧度．结合图象，设滚动后圆与x轴的交点为Q，圆心为C2，作

34、C2M⊥y轴于M，∠PC2Q＝2，∠PC2M＝2－，∴点P的横坐标为2－1×cos＝2－sin2，点P的纵坐标为1＋1×sin＝1－cos2.例2：[答案]A　[解析]本题考查三角函数的和角公式，点的坐标．设∠POx＝α，因为P，所以＝(10cosα，10sinα)⇒cosα＝，sinα＝，则＝＝(－7，－)．故答案为A.例3：[答案]C[解析]本题考查平面