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1、第八讲平面向量及向量的应用一、主干知识整合1.向量的概念(1)概念：既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模.长度为0,方向任意的向量为零向量，0与任一非零向量共线.(2)向量夹角：臼，方的夹角记为〈臼，历，范围是［0,兀］.(3)投影：〈白，方〉=〃，
2、b
3、cos〃叫做方在臼方向上的投影.投影是数量.2.向量的运算与重要法则(1)加法、减法运算：a+b为平行四边形法则，a~b为三角形法则；(2)数乘运算：人(〃曰)=(人”)臼，(人+〃)臼=人臼+“臼，A(a+/;)=Aa+Ab；(3)数量积运算：a•b=b•日，(日+Z?)•c=a・c+b•c,(心)・b=a•(人Q
4、)=人@•力)・3.两非零向量平行、垂直的充要条件(1)共线条件：a,b(bHO)共线o存在A,a=Ab,坐标表示为(加，yj=久仏，乃)0＜卩2=/2/；(2)垂直条件：臼丄bo&・b=0,坐标表示为山也+-刃乃=0.二、要点热点探究►探究点一向量的概念及线性运算例1(1)［2012•广东卷］若向量场=(2,3),CA=(4,7),则花、=()A.(-2,-4)B.(2,4)C.(6,10)D.(-6,-10)(2)在△初C所在的平面内有一点P,如果2场+元=乔一场，那么的面积与的面积之比是()＞探究点二平面向量的数量积问题例2(1)［2012•课程标准卷］已知向量曰，方夹角为45°,且
5、
6、日
7、=1,
8、2$—引=小©,则
9、引(2)［2012・天津卷］已知为等边三角形，AB=2,设点P,0满足芫入亦丽=(1一人)花,久GR.若丽•~CP=—贝【J久=()变式题平面上0,〃三点不共线,设0A=a,0B=b,则△创〃的而积等于（A.~a•b~'B.~a■b~5D.~a•b~~5►探究点三有关向量的平行、垂直问题b//c,贝!
10、a+b例3⑴设x,yER,向量a—(%,1),h—(1,y),c=(2,—4),且臼丄c,)A.^5B.^IOC.2^5D.10*□A（2）设自，方都是非零向量，下列四个条件中，使土=帀成立的充分条件是（A.a=~bB.a//bC.a=2bD.a//b且
11、胡=
12、
13、方
14、变式题⑴在△/!%中，若A^=AB•庞+励•旋?+励・&,则△/1力是（）A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形（2）如图2-8-1,已知
15、翩=3,
16、翩=1,鬲・丽=0,“of若加总+亦则实数匸等于（）图2-8-1►探究点三平面向量的综合应用例4［2012•安徽卷］若平面向量自，方满足
17、2自一引冬3,则自・b的最小值是运算求解能力一一建立平面直角坐标系解决向量数量积问题示例［2012・北京卷］己知正方形〃的边长为1,点F是初边上的动点，则厉・页勺值为.厉・旋的最大值为［跟踪练］1.在直角梯形/矽皿中，ABLA/）,AD=DC=.加=3,动点户在梯形内运动（含边界），
18、设彷=a・乔+〃•乔，则a+/3的最大值是（）2.在中，Z丽片120°,
19、^
20、=2,AC=if点P满足BP=入BC（0W入，则胪一/1戶・％的取值范围是（）111513A.了3B.刁5C.—2,TD.T5备用例题：例1[2012•山东卷]如图所示，在平面直角坐标系xOyd1,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此吋圆上一点戶的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)吋，鬲勺坐标为.例2[2012•安徽卷]在平面直角坐标系中，点0(0,0),P(6,8),将向量莎绕点。按逆时针方向旋转乎后得向量励，则点0的坐标是()A.(-7^2,一曲B.(-7^2,边)A.
21、(一4缶，-2)D.(-4^6,2)Q■B例3[2012•广东卷]对任意两个非零的平面向量。和B,定义a。0=亍万.若平面向量日，〃满足I引2
22、力
23、〉0,日与b的夹角0w(o,彳j,且日。方和加日都在集合*号中，则a。b=()135参考答案：例1(1)A(2)A例2(1)3^2(2)A例2变式题C例3(1)B(2)C例3变式题(1)D(2)B9例4：--8示例：1、1【跟踪练】(1)A(2)D备用例题：例1：［答案］(2-sin2,l-cos2)［解析］根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点户旋转了2弧度.结合图象，设滚动后圆与x轴的交点为ft圆心为G,作GMLy轴于必乙P・Q=2,乙PGM=
24、2-*：•点P的横坐标为2—lXcos(2—专j=2—sin2,点P的纵坐标为l+lXsin(2—丁)=1—cos2.例2：［答案］A［解析］本题考查三角函数的和角公式，点的坐标.设ZPOx=a,因为P(6,8),所以~0P=(lOcoscr,lOsina)=>cosa=?,sina=7,则加(10cos(°+节,10sin(a+节=(—7頁，一寸^)・故答案为A.例3：［答案］C［解析］本题考查平而向量的数
