b单元 函数与导数

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1、数学B单元函数与导数B1　函数及其表示6．B1[2015·湖北卷]已知符号函数sgnx＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，则(　　)A．sgn[g(x)]＝sgnxB．sgn[g(x)]＝－sgnxC．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]6．B　[解析]不妨令f(x)＝x＋1，a＝2，则g(x)＝f(x)－f(2x)＝－x，故sgn[g(x)]＝sgn(－x)，排除A；sgn[f(x)]＝sgn(x＋1)≠sgn[g(x)]，又sgn[g(x)]≠－sgn[f(x)]，所以排

2、除C，D.故选B.10．B1[2015·湖北卷]设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是(　　)A．3B．4C．5D．610．B　[解析][t]＝1，则1≤t<2，①[t2]＝2，则2≤t2<3，②显然存在t∈[，)使得[t]＝1与[t2]＝2同时成立．[t3]＝3，则3≤t3<4，即3≤t<4，③因为2<3<4<3，所以存在3≤t<4使得①②③同时成立．[t4]＝4，则4≤t4<5，则4≤t<5，④同理，可以求得3≤t<5使得①②③④同时成立．[t5]＝5，则5

3、≤t5<6，即5≤t<6，⑤因为6<3，所以5≤t<6与3≤t<5的交集为空集．所以n的最大值是4.故选B.10．B1、B6[2015·山东卷]设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　)A.B．[0，1]C.D．[1，＋∞)10．C　[解析]当a<1时，f(a)＝3a－1，若f(f(a))＝2f(a)，则f(a)≥1，即3a－1≥1，∴≤a<1；当a≥1时，f(a)＝2a≥2，此时f(f(a))＝2f(a)．综上所述，a≥.7．B1[2015·浙江卷]存在函数f(x)满足：对于任意x∈R都有(　　)A．f(sin2x)＝s

4、inxB．f(sin2x)＝x2＋xC．f(x2＋1)＝

5、x＋1

6、D．f(x2＋2x)＝

7、x＋1

8、7．D　[解析]对选项A中的函数，当x＝0时，得f(0)＝0，当x＝时，得f(0)＝1，矛盾；选项B中的函数，当x＝0时，得f(0)＝0，当x＝时，得f(0)＝＋，矛盾；选项C中的函数，当x＝－1时，得f(2)＝0，当x＝1时，得f(2)＝2，矛盾；选项D中的函数变形为f((x＋1)2－1)＝，令t＝(x＋1)2－1可知，f(t)＝满足要求．10．B1、B3[2015·浙江卷]已知函数f(x)＝则f[f(－3)]＝________，f(x)的最小值是___

9、_____．10．0　2－3　[解析]f(－3)＝lg10＝1，f[f(－3)]＝f(1)＝0.当x≥1时，x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，等号成立；当x<1时，lg(x2＋1)≥lg1＝0.故最小值为2－3.B2反函数B3函数的单调性与最值21．B3、B14[2015·安徽卷]设函数f(x)＝x2－ax＋b.(1)讨论函数f(sinx)在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(2)记f0(x)＝x2－a0x＋b0，求函数

10、f(sinx)－f0(sinx)

11、在上的最大值D；(3)在(2)中，取a0＝b0＝0，求z＝b－满足条件D≤1时的最大值．

12、21．解：(1)f(sinx)＝sin2x－asinx＋b＝sinx(sinx－a)＋b，－0，－2<2sinx<2.①当a≤－2，b∈R时，函数f(sinx)单调递增，无极值．②当a≥2，b∈R时，函数f(sinx)单调递减，无极值．③对于－2

13、nx0)＝f＝b－.(2)当－≤x≤时，

14、f(sinx)－f0(sinx)

15、＝

16、(a0－a)sinx＋b－b0

17、≤

18、a－a0

19、＋

20、b－b0

21、，当(a0－a)(b－b0)≥0时，取x＝，等号成立，当(a0－a)(b－b0)<0时，取x＝－，等号成立．由此可知，

22、f(sinx)－f0(sinx)

23、在上的最大值D＝

24、a－a0

25、＋

26、b－b0

27、.(3)D≤1即为

28、a

29、＋

30、b

31、≤1，此时0≤a2≤1，－1≤b≤1，从而得z＝b－≤1.取a＝0，b＝1，则

32、a

33、＋

34、b

35、≤1，并且z＝b－＝1，由此可知，z＝b－满足条件D≤1的最大值为1.22．B3、M3、E7[20

36、15·湖北卷]已知数列{an}的各项均为正数，bn＝nan(n∈N＋)，e为自然对数的底数．(