B单元 2014 函数与导数

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1、数学B单元函数与导数B1 函数及其表示14.、[2014·安徽卷]若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=则f+f=______.14.、2.、[2014·北京卷]下列函数中,定义域是R且为增函数的是(  )A.y=e-xB.y=x3C.y=lnxD.y=

2、x

3、2.B、21.、、[2014·江西卷]将连续正整数1,2,…,n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n,F(n)为这个数的位数(如n=12时,此数为123456789101112,共有15个数字,F(12)=15),现从这个

4、数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率.(1)求p(100);(2)当n≤2014时,求F(n)的表达式;(3)令g(n)为这个数中数字0的个数,f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)-g(n),S={n

5、h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当n∈S时p(n)的最大值.21.解:(1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=.(2)F(n)=(3)当n=b(1≤b≤9,b∈N*),g(n)=0;当n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈

6、N*,b∈N)时,g(n)=k;当n=100时,g(n)=11,即g(n)=1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N,同理有f(n)=由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,所以当n≤100时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}.当n=9时,p(9)=0.当n=90时,p(90)===.当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)===,由y=关于k单调递增,故当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)的最大值为p(8

7、9)=.又<,所以当n∈S时,p(n)的最大值为.3.[2014·山东卷]函数f(x)=的定义域为(  )A.(0,2)B.(0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)3.C B2反函数5.[2014·全国卷]函数y=ln(+1)(x>-1)的反函数是(  )A.y=(1-ex)3(x>-1)B.y=(ex-1)3(x>-1)C.y=(1-ex)3(x∈R)D.y=(ex-1)3(x∈R)5.D B3函数的单调性与最值2.、[2014·北京卷]下列函数中,定义域是R且为增函数的是(  )A.y=e-xB.y=x3C.y=lnxD

8、.y=

9、x

10、2.B 4.、[2014·湖南卷]下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是(  )A.f(x)=B.f(x)=x2+1C.f(x)=x3D.f(x)=2-x4.A 19.、、、[2014·江苏卷]已知函数f(x)=ex+e-x,其中e是自然对数的底数.(1)证明:f(x)是R上的偶函数.(2)若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围.(3)已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)

11、你的结论.19.解:(1)证明:因为对任意x∈R,都有f(-x)=e-x+e-(-x)=e-x+ex=f(x),所以f(x)是R上的偶函数.(2)由条件知m(ex+e-x-1)≤e-x-1在(0,+∞)上恒成立.令t=ex(x>0),则t>1,所以m≤-=-对任意t>1成立.因为t-1++1≥2+1=3,所以-≥-,当且仅当t=2,即x=ln2时等号成立.因此实数m的取值范围是.(3)令函数g(x)=ex+-a(-x3+3x),则g′(x)=ex-+3a(x2-1).当x≥1时,ex->0,x2-1≥0.又a>0,故g′(x)

12、>0,所以g(x)是[1,+∞)上的单调递增函数,因此g(x)在[1,+∞)上的最小值是g(1)=e+e-1-2a.由于存在x0∈[1,+∞),使ex0+e-x0-a(-x+3x0)<0成立,当且仅当最小值g(1)<0,故e+e-1-2a<0,即a>.令函数h(x)=x-(e-1)lnx-1,则h′(x)=1-.令h′(x)=0,得x=e-1.当x∈(0,e-1)时,h′(x)<0,故h(x)是(0,e-1)上的单调递减函数;当x∈(e-1,+∞)时,h′(x)>0,故h(x)是(e-1,+∞)上的单调递增函数.所以h(x)在

13、(0,+∞)上的最小值是h(e-1).注意到h(1)=h(e)=0,所以当x∈(1,e-1)⊆(0,e-1)时,h(e-1)≤h(x)

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