10第10讲导数单调性、极值、最值

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1、2016届传媒艺术班高三二轮复习第10讲　导数的单调性、极值、最值基础梳理1．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线l的斜率，切线l的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的瞬时速度．3．函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b

2、)上单调递减．　求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．4．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方

3、程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．5．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导

4、，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．62016届传媒艺术班高三二轮复习双基自测1．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是___________．2．函数f(x)＝x2－2lnx的递减区间是_____________________．3．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为_____．4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：

5、万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为_______万件5．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．6．函数f(x)＝x3－3x2＋1的递增区间是________．7．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于_．8．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.考向一　求曲线切线的方程【例1】已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在x＝2处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)

6、的曲线f(x)的切线方程．【训练1】若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试求k的值．考向二　函数的单调性与导数【例2】已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．【训练2】已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a62016届传媒艺术班高三二轮复习的取值范围，若不存在，说明理由．考向三　利用导数解决不等式问题【例3】设a为实数，函数

7、f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1.【训练3】已知m∈R，函数f(x)＝(x2＋mx＋m)ex(1)若函数没有零点，求实数m的取值范围；(2)当m＝0时，求证f(x)≥x2＋x3.考向四　函数的极值与导数【例1】设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．【训练4】设f(x)＝，其中a为正实数．(1)当a＝时，求f(x)

8、的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．62016届传媒艺术班高三二轮复习考向五　函数的最值与导数【例5】已知a为实数，且函数f(x)＝(x2－