随机过程知识点汇集

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1、..第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布1．随机变量，分布函数离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数2．n维随机变量其联合分布函数离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量　　　连续型随机变量　　　方差：　　反映随机变量取值的离散程度协方差（两个随机变量）：相关系数（两个随机变量）：　　　　若，则称不相关。独立不相关４．特征函数　　离散　　连续　重要性质：，，，５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布

2、　　　　　二项分布　　　　　泊松分布　　　　　　均匀分布略...正态分布　　　　　指数分布　　　　　　　　　６．Ｎ维正态随机变量的联合概率密度，，正定协方差阵二．随机过程的基本概念１．随机过程的一般定义设是概率空间，是给定的参数集，若对每个，都有一个随机变量与之对应，则称随机变量族是上的随机过程。简记为。含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。当固定时，是随机变量。当固定时，时普通函数，称为随机过程的一

3、个样本函数或轨道。分类：根据参数集和状态空间是否可列，分四类。　也可以根据之间的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。２．随机过程的分布律和数字特征用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程的一维分布，二维分布，…，维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。（１）均值函数　表示随机过程在时刻的平均值。（２）方差函数表示随机过程在时刻对均值的偏离程度。...

4、（３）协方差函数　且有（４）相关函数　(3)和(4)表示随机过程在时刻，时的线性相关程度。（５）互相关函数：，是两个二阶距过程，则下式称为它们的互协方差函数。，那么，称为互相关函数。若，则称两个随机过程不相关。３．复随机过程　均值函数　　方差函数协方差函数相关函数４．常用的随机过程（１）二阶距过程：实（或复）随机过程，若对每一个，都有（二阶距存在），则称该随机过程为二阶距过程。（2）正交增量过程：设是零均值的二阶距过程，对任意的，有，则称该随机过程为正交增量过程。其协方差函数（3）独立增量过程：随机过程，若对任意正

5、整数，以及任意的，随机变量是相互独立的，则称是独立增量过程。进一步，如是独立增量过程，对任意，随机变量...的分布仅依赖于，则称是平稳独立增量过程。（4）马尔可夫过程：如果随机过程具有马尔可夫性，即对任意正整数及，，都有，则则称是马尔可夫过程。（5）正态过程：随机过程，若对任意正整数及，（）是n维正态随机变量，其联合分布函数是n维正态分布函数，则称是正态过程或高斯过程。（6）维纳过程：是正态过程的一种特殊情形。设为实随机过程，如果，①；②是平稳独立增量过程；③对任意增量服从正态分布，即。则称为维纳过程，或布朗运动过

6、程。　另外：①它是一个Markov过程。因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息。②维纳过程具有独立增量。该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率。③它在任何有限时间上的变化服从正态分布，其方差随时间区间的长度呈线性增加。（7）平稳过程：严（狭义）平稳过程：，如果对任意常数和正整数及，，（）与（）有相同的联合分布，则称是严（狭义）平稳过程。广义平稳过程：随机过程，如果①是二阶距过程；②对任意的，；③对任意，，或仅与时间差有关。则满足这三个条件的随机过程就称为广义平稳过

7、程，或宽平稳过程，简称平稳过程。第二章泊松过程一．泊松过程的定义（两种定义方法）...１，设随机计数过程，其状态仅取非负整数值，若满足以下三个条件，则称：是具有参数的泊松过程。①；②独立增量过程，对任意正整数，以及任意的相互独立，即不同时间间隔的计数相互独立；③在任一长度为的区间中，事件Ａ发生的次数服从参数的的泊松分布，即对任意，有，，表示单位时间内时间Ａ发生的平均个数，也称速率或强度。２，设随机计数过程，其状态仅取非负整数值，若满足以下三个条件，则称：是具有参数的泊松过程。①；②独立、平稳增量过程；③。第三个条件

8、说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不可能有两个或两个以上事件同时发生，也称为单跳性。二．基本性质１，数字特征　　　　推导过程要非常熟悉２，表示第事件Ａ发生到第次事件发生的时间间隔，是时间序列，随机变量服从参数为的指数分布。概率密度为，分布函数均值为证明过程也要很熟悉　　　到达时间的分布　略三．非齐次泊松过程　　　到达强度是的函数①；②独立增量