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1、随机过程复习第一章：预备知识§1.1 概率空间随机试验，样本空间记为Ω。定义1.1 设Ω是一个集合，F是Ω的某些子集组成的集合族。如果（1）F；（2）F，F；（3）若F，，则F；则称F为代数(Borel域)。(,F)称为可测空间，F中的元素称为事件。由定义易知：定义1.2设(,F)是可测空间，P(·)是定义在上的实值函数。如果则称P是上的概率，（）称为概率空间，P(A)为事件A的概率。定义1.3设（）是概率空间，，如果对任意，有：则称为独立事件族。§1.2随机变量及其分布随机变量X，分布函数，n维随机变量或n维随机向量，联合分布函数，
2、是独立的。§1.3随机变量的数字特征定义1.7设随机变量X的分布函数为，若，则称＝为X的数学期望或均值。上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes积分。方差，为X、Y的协方差，而为X、Y的相关系数。若则称X、Y不相关。（Schwarz不等式）若则§1.4特征函数、母函数和拉氏变换定义1.10设随机变量的分布函数为F（x），称19随机过程复习为X的特征函数随机变量的特征函数具有下列性质：(1)1(2)g(t)在上一致连续。（3）(4)若是相互独立的随机变量，则的特征函数，其中是随机变量X的特征函数，.定义1.11设是n维随机
3、变量，t=()则称,为X的特征函数。定义1.12设X是非负整数值随机变量，分布列则称＝为X的母函数。§1.5n维正态分布定义1.13若n维随机变量的联合概率密度为式中，是常向量，是正定矩阵，则称为n维正态随机变量或服从n维正态分布，记作。可以证明，若，则的特征函数为为了应用的方便，下面，我们不加证明地给出常用的几个结论。性质1若则。性质2设，，若正定，则。即正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量。性质3设是四维正态随机变量，，则§1.6条件期望给定Y=y时，X的条件期望定义为由此可见除了概率是关于事件｛Y=y｝的条件概率以外，现在的定
4、义与无条件的情况完全一样。E(X
5、Y=y)是y的函数，y是Y的一个可能值。若在已知Y的条件下，全面地考虑X的均值，需要以Y代替y，E(X
6、Y)是随机变量Y的函数，也是随机变量，称为X在Y下的条件期望。条件期望在概率论、数理统计和随机过程中是一个十分重要的概念，下面我们介绍一个极其有用的性质。性质若随机变量X与Y的期望存在，则--------(1)19随机过程复习如果Y是离散型随机变量，则上式为如果Y是连续型，具有概率密度f(x)，则（1）式为第二章随机过程的概念与基本类型§2.1随机过程的基本概念定义2.1设（）是概率空间,T是给定的
7、参数集,若对每个t∈T，有一个随机变量X(t,e)与之对应，则称随机变量族是（）的随机过程,简记为随机过程。T称为参数集，通常表示时间。通常将随机过程解释为一个物理系统。X(t)表示在时刻t所处的状态。X(t)的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间，记为I。从数学的观点来说，随机过程是定义在T×Ω上的二元函数。对固定的t，X(t,e)是定义在T上的普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道，样本函数的全体称为样本函数的空间。 §2.2随机过程的函数特征
8、={X(t),t∈T}的有限维分布函数族。有限维特征函数族：其中：定义2.3设={X(t),t∈T}的均值函数，。二阶矩过程，协方差函数：相关函数：定义2.4设{X(t),t∈T}，{Y(t),t∈T}是两个二阶矩过程，互协方差函数，互相关函数。§2.3复随机过程定义2.5设，是取实数值的两个随机过程，若对任意，其中，则称为复随机过程．定理2.2复随机过程的协方差函数具有性质（1）对称性：；（2）非负定性§2.4几种重要的随机过程一、正交增量过程定义2.6设是零均值的二阶矩过程，若对任意的有公式，则称正交增量过程。19随机过程复习二、
9、独立增量过程定义2.7设是随机过程，若对任意的正整数和随机变量是互相独立的，则称是独立增量过程，又称可加过程。定义2.8设是平稳独立增量过程，若对任意随机变量的分布仅依赖于，则称是平稳独立增量过程。三、马尔可夫过程定义2.9设为随机过程，若对任意正整数n及,，且其条件分布=，(2.6)则称为马尔可夫过程。四、正态过程和维纳过程定义2.10设是随机过程，若对任意正整数n和,(,)是n维正态随机变量，则称是正态过程或高斯过程。定义2.11设为随机过程，如果（1）；（2）它是独立、平稳增量过程；（3）对，增量，则称为维纳过程，也称布朗运动过
10、程。定理2.3设是参数为的维纳过程，则（1）任意t,；（2）对任意,,特别：。五、平稳过程定义2.12设是随机过程，如果对任意常数和正整数当时，与有相同的联合分布，则称为严平稳过程，也称狭义平稳过程。定义2.13设是随机
