随机过程知识点总结

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1、知识点总结第1章概率论基础1.1概论空间随机试验，它是指其结果不能事先确定且在相同条件下可以重复进行的试验。其中，一个试验所有可能出现的结果的全体称为随机试验的样本空间，记为，试验的一个结果称为样本点，记为，即.样本空间的某个子集称为随机事件，简称事件.定义1.1.1设样本空间，是的某些子集构成的集合，如果：（1）（2）若，则（3）若，则那么称为一事件域，也称为域.显然，如果是一事件域，那么（1）（2）若，则（3）若，，定义1.1.2设是样本空间，是一事件域，定义在上的实值函数如果满足：（1），（2），（

2、3）若且则49那么称P是二元组（)上的概率，称P(A)为事件A的概率，称三元组为概率空间。关于事件的概率具有如下性质：（1）（2）若则（3）若则（4）若；（5）若（6）若（7）若则（8）若则一列事件称为单调递增的事件列，如果一列事件称为单调递减的事件列，如果.定理1.1.1设（1）若是单调递增的事件列，则49（2）若是单调递减的事件列，则定义1.1.3.设为一概率空间，.且则称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.不难验证，条件概率符合定义1.1.2中的三个条件，即（1）,；（2）（3）设则定理1.

3、1.2.设F是一概率空间，有：（1）（乘法公式）若，且，则(2)（全概率公式）设,且则（3）（贝叶斯(Bayes)公式）且，49且则定义1.1.4设F为一概率空间，如果对于任意的及任意的有则称相互独立。定理1.1.3设相互独立，则A与，与B，与也是相互独立的，从而A所生成的域中的任意一个事件和B所生成的域中的任意一个事件都相互独立（这时我们称这两个域和是相互独立的）.定理1.1.4设相互独立，则（1）A与BC相互独立；（2）A与相互独立；（3）A与相互独立；  （4）A所生成的域中的任一事件B和C所生成的

4、域中的任意一个事件都相互独立.推论1.1.1设相互独立，将任意分为两组，则它们各自生成的域仍然相互独立.定理1.1.5设相互独立，将任意分成组，并对各组中的事件施以积，和、逆运算以后，所得到的事件49也相互独立.从而这m组事件各自所生成的域也是相互独立的.定理1.1.5推论：（1）若相互独立，则也相互独立，从而有（2）一列独立事件中的任何一部分事件也相互独立.（3）若一列事件相互独立，则将其中任一部分改写为对立事件，所得到的事件列也相互独立.1.2随机变量及其分布定义1.2.1设为一概率空间，定义在上的实

5、函数，如果，，则称X是的随机变量.称，为随机变量X的分布函数.在实际应用中，常见的随机变量有两种类型：离散型随机变量和连续型随机变量.若随机变量X的可能取值为有限个或可列无限个，则称X为离散型随机变量.离散型随机变量X的分布可用分布律来描述，即这时X的分布函数为设随机变量X的分布函数为，如果存在非负可积函数，使得则称X为连续型随机变量，称为连续型随机变量X的概率密度函数.定义1.2.2设F为一概率空间，定义在上的n元实函数49，如果，，则称为n维随机变量或n维随机向量.称为X的联合分布函数.设X是n维随机

6、变量，则不难证明X的联合分布函数具有下列性质：（1）对任一是单调不减函数；（2）对任一是右连续函数；（3），，；（4）设，则类似于一维随机变量，可以证明，对于给定的n元函数若满足上面的性质（1）、（2）、（3）、（4），则必存在概率空间F及其上的n维随机变量X，使得X以为其联合分布函数.定义1.2.3设是一n维随机变量，其联合分布函数和边缘分布函数分别为，，如果对于任意的，有49则称随机变量相互独立.定理1.2.1设连续型n维随机变量的联合概率密度函数为，n元函数，，满足：（1）存在唯一的反函数，即方程组

7、存在唯一的实数解，；（2）及，都是连续的；（3），存在且连续，令则n维随机变量，，的联合概率密度函数为1.3随机变量的数字特征定义1.3.1设是定义在上的两个有界函数，是区间上的任一划分，，，在每一个子区间上任意取一点作和式如果极限49存在且与的分法和的取法都无关，则称此极限为函数对函数在区间上的Stieltjes积分，简称S积分，记为.此时也称对在上S可积.定义1.3.2设是定义在上的两个函数，若在任意有限区间上，在上S可积，且极限存在，则称此极限为在无穷区间上的Stieltjes积分，简称S积分，记为

8、.定义1.3.3设函数定义在上，若积分存在，则称此积分为的Fourier-Stieljes积分，简称F-S积分.定义1.3.4设X是一个随机变量，是其分布函数，若，则称为随机变量X的数学期望或均值.若X是离散型随机变量，其分布律为则若X是连续型随机变量，其概率密度函数为，则定理1.3.1设X是一随机变量，其分布函数为，49是连续函数，如果存在，则定理1.3.2设是n维随机变量，其联合分布函数为，是连续函数，如果存在，则定义1.