随机过程知识点总结

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1、第一章：考试范围1.3,1.41、计算指数分布的矩母函数.2、计算标准正态分布的矩母函数.3、计算标准正态分布的特征函数.第二章：1.随机过程的均值函数、协方差函数与自相关函数2.宽平稳过程、均值遍历性的定义及定理3.独立增量过程、平稳增量过程，独立增量是平稳增量的充要条件1、设随机过程，.若已知二维随机变量的协方差矩阵为，求的协方差函数.2、设有随机过程和常数，，，计算的自相关函数（用表示）.3、设，其中是独立同分布的随机变量，为实数，证明是宽平稳过程.4、设有随机过程，其中和是相互独立的随机变量，它们都分别以0.5和0.5的概率取值-1和1，证明是宽平稳过程

2、.第三章：1.泊松过程的定义（定义3.1.2）及相关概率计算2.与泊松过程相联系的若干分布及其概率计算3.复合泊松过程和条件泊松过程的定义1、设是参数的Poisson过程，计算：(1).；(2).；(3)..2、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数.假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程.(1)．试求到某时刻时到达商场的总人数的分布；第4页，共4页(2).在已知时刻有50人到达的条件下，试求其中恰有30位女性的概率，平均有多少个女性顾客？3、某商店顾客的到来服从强度为4人/小时的Poisson过程，已知商店9

3、：00开门，试求：(1).在开门半小时中，无顾客到来的概率；(2).若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。4、设有一泊松过程，若有两个时刻，且，试证明，.5、设顾客以泊松分布抵达银行，其到达速率为.若已知在第一个小时内有两个顾客抵达银行，试计算：(1)．此两个顾客在最初的20分钟内抵达银行的概率；(2)．至少有一个顾客在最初的20分钟内抵达银行的概率.第四章：1.更新过程、更新方程及其解得存在唯一性2.Wald等式3.更新定理及其在概率计算中的应用1、设，令.对于更新过程，计算和的概率分布.2、某控制器用一节电池供电，设电池寿命服

4、从（30,60）（单位：h）内的均匀分布，电池失效时需要去仓库领取，领取新电池的时间服从期望为0.5小时的均匀分布.计算长时间工作时控制器更换电池的速率.3、设有一个单服务员银行，顾客到达可看作速率为20（人/小时）的Poisson分布，服务员为每一位顾客服务的时间是随机变量，服从均值为2（分钟/人）的指数分布.顾客到达门口只有在服务员空闲时才准进来.试求：(1).顾客进银行的速率；(2).服务员工作的时间所占营业时间的比例.第4页，共4页第五章：1.Markov链的定义，转移概率矩阵，C-K方程2.状态的周期，常返态、非常返态的定义及判别（定理5.2.3，推论

5、5.3.3，5.3.4）3.极限定理及平稳分布1、设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关.又设今天下雨明天也下雨的概率为0.7，而今天无雨明天有雨的概率为0.4，计算星期一有雨，星期四天仍有雨的概率.2、设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为（表示从销售状态经过一个月后转为销售状态的概率），一步转移概率矩阵为：试对经过长时间后的销售状况进行分析。3、一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1

6、和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。4、设有一马尔可夫链，其转移状态有两种：、，经计算得一阶转移概率矩阵为，求证该链具有遍历性，并求出极限分布。5、设，其一步转移概率矩阵为试对其状态进行分类，确定哪些状态是常返态，并确定其周期.6、设齐次Markov链的转移概率矩阵为，，，第4页，共4页证明：此Markov链有遍历性，并求其平稳分布.第六章1.鞅及停时的定义2.鞅的证明1、设是一族零均值的独立随机变量序列，且，，证明：是关于的鞅.2、证明Brown运动是鞅.第七章1

7、.Brown运动的定义及相关概率计算2.Gauss过程及相关概率计算3.Brown的最大值变量及反正弦律1、设是标准Brown运动，计算.2、设是标准Brown运动，计算的分布.3、设是标准Brown运动，计算.第八章考试范围：P157性质8.2.1第二条，伊藤公式第4页，共4页