第五章第3讲等比数列及其前n项和

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1、第3讲　等比数列及其前n项和1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q．(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1．(2)前n项和公式：Sn＝3．等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)(1)若m＋n＝p＋q＝2

2、r，则am·an＝ap·aq＝a；(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．[做一做]1．(2014·高考重庆卷)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)A．a1，a3，a9成等比数列　B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列解析：选D.设等比数列的公比为q，因为＝＝q3，即a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.2．(2014·高考江苏卷)在各项均为正数的等比数列{

3、an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．解析：因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.答案：41．辨明三个易误点(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0，但q可为正数，也可为负数．(2)由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(3)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q

4、＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．2．等比数列的三种判定方法(1)定义：＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(2)通项公式：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(3)等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题

5、中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝；在判断等比数列单调性时，也必须对a1与q分类讨论．[做一做]3．(2015·海淀区第二学期期中练习)在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2，3，4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.当an＝0时，也有an＝2an－1，n＝2，3，4，…，但{an}是等差数列，不是等比数列，因此充分性不

6、成立．当{an}是公比为2的等比数列时，有＝2，n＝2，3，4，…，即an＝2an－1，n＝2，3，4，…，所以必要性成立．故选B.4．若等比数列{an}满足a1＋a4＝10，a2＋a5＝20，则{an}的前n项和Sn＝________．解析：由题意a2＋a5＝q(a1＋a4)，得20＝q×10，故q＝2，代入a1＋a4＝a1＋a1q3＝10，得9a1＝10，得a1＝.故Sn＝＝(2n－1)．答案：(2n－1)__等比数列的基本运算(高频考点)________等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，属中、低档题．高

7、考对等比数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度：(1)求首项a1、公比q或项数n；(2)求通项或特定项；(3)求前n项和．　(1)(2015·江苏扬州中学期中测试)设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝4，Sk＝63，则k＝________．(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．(3)(2014·高考重庆卷节选)已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2

8、－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.