2019年杭州中考数学试卷答案解析

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2019年杭州市初中毕业升学文化考试数学考生须知：1.本试卷满分为120分，考试时间为100分钟。2.答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在纸卷首页指定位置位置写上姓名和座位号3.必须在答题纸的对应位置上答题，写在其它地方无效。答题方式详见答题纸上的说明。4.考试结束后，试题卷和答题纸一并上交。5.如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑。试题卷一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的。1．计算下列各式中，值最小的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】A．B．C．D．故选A2．在平面直角坐标系中，点A（，2）与点B（3，）关于轴对称，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】两点关于轴对称，则故选B14/14 .BAP3．如图，P为外一点，分别切于A,B两点．若，则（）OA．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】是的两条切线，由切线长定理可得：故选B4．已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树．设男生有人，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得，男生有人，则女生有人，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，∴故选D5.点点同学对数据26，36，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A.平均数B.中位数C.方差D.标准差【答案】B【解析】由题意可得，被涂污数字的范围在50到59之间，无论取多少，将五个数据从小到大排列之后，最中间的数字都为46，故计算结果与被涂污数字无关的是中位数。而平均数，方差和标准差的值均会受到被涂污数字大小的影响，故选B。6.如图，在中，点，分别在和边上，，为边上一点（不与点，重合），连接交于点，则（）A.B.C.D.14/14 【答案】C【解析】因为所以，所以，所以A，B，D选项由已知条件无法证明，故选C。7.在中，若一个内角等于另两个内角的差，则（）A.必有一个内角等于B.必有一个内角等于C.必有一个内角等于D.必有一个内角等于【答案】D【解析】设三角形的三个内角分别为，，，由题意可得，则。由三角形的内角和为可得，则，。故选D.8.已知一次函数和，函数和的图象可能是（）【答案】A【解析】当时，，，即,所以和图象的交点横坐标为。若，，与的图象都经过第一、二、四象限，其他几项均不符合题意。14/14 故选A.9.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB=，AD=，，则点A到OC的距离等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】过A点做交OB于点M，在直角三角形中，，，在矩形中，，在直角三角形BOC中，，，由题意可知，OM即为点A到OC的距离。故选D10.在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有M个交点，函数的图象与轴有N个交点,则（）A.或B.或C.或D.或【答案】C【解析】分类讨论，①当且时，函数，函数有两个解，M=2；函数，函数有一个解，N=1；此时②当且时，函数，函数有两个解，M=2；函数，函数有一个解，N=1；此时③当且且时，函数，函数有两个解，M=1；函数，函数有两个解，N=1；此时综上所述，或故选C14/14 二、填空题：本题有6个小题，每题4分，共24分．11.因式分解：__________．【答案】【解析】平方差公式12.某计算机程序第一次算得个数据的平均数为，第二次算得另外个数据的平均数为，则这个数据的平均数等于__________．【答案】【解析】第一次个数据的和为，第二次个数据的和为，因此个数据的平均数就是．13.如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度）。已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于__________．【答案】【解析】圆锥侧面展开为扇形，即求扇形面积。，为扇形弧长即圆锥底面圆的周长，为其母线长即，因此侧面积为．关于数学卷第13题正式阅卷前，评卷组在制定评分标准时，发现数学卷第13题存在两个合理答案，即113或112（参考答案为113，若采用现行教材例题中近似数的计算方法，则答案为112）。评卷组研究后认为：113或112均为正确答案，得满分。此外，答案为36π的，减半得分。14/14 接到反映后，为慎重起见，我院聘请相关学科领域专家组成专家组对数学卷第13题评分标准和参考答案进行第三方论证，认为数学卷第13题正确答案为113或112。杭州市教育考试院2019年6月22日14.在直角三角形中，若，则__________．【答案】，【解析】有两种情况。①为直角顶点，此时为斜边，即，因此．②为直角顶点，此时和同为直角边，设，则，，．15.某函数满足当自变量时，函数值；当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式__________．【答案】或或等【解析】若此函数为一次函数，设将，；，代入得解得．∴．16.将矩形沿，折叠，、两点的对应点落在上的点处，且，，，则=__________．14/14 【答案】【解析】∵矩形沿，折叠，、两点的对应点落在上的点处∴，，．且，，．又∵．∴∴在一条直线上．∴∴又∵∴∴∵，．∴设，．∴∴∴∴在与中．14/14 ，∴∴三、解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分6分）化简：圆圆的解答如下：圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．【解析】圆圆的解答不正确，正确的解答如下：18．（本题满分8分）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．实际称量读数和记录数据统计表序号数据12345甲组4852474954乙组24实际称量度数折线统计图记录数据折线统计图14/14 （1）补充完整乙组数据的折线统计图．（2）①甲、乙两组数据的平均数分别为，写出与之间的等量关系．②甲、乙两组数据的方差分别为，，比较与的大小，并说明理由．【解析】（1）如图所示（2）①②，理由如下：14/14 ∴19．（本题满分8分）在中，,（1）已知线段的垂直平分线与交于点，连接，求证:．（2）以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接，若，求的度数．【解析】（1）证明：∵点在的垂直平分线上，∴∴∴．（2）根据题意，得∴设，∴，∴，在中，，解得，即．20．(本题满分10分)方方驾驶小汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为(单位:小时)，行驶速度为(单位:千米/小时)，且全程速度限定为不超过120千米/小时．(1)求关于的函数表达式．14/14 (2)方方上午8点驾驶小汽车从地出发，①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达地，求小汽车行驶速度的范围．②方方能否在当天11点30分前到达地？说明理由．【解析】（1）根据题意得，，∴，∵，∴当时，∴（2）①根据题意，得∵∴∴②不能．理由如下：由（1）知，而11点30分前不满足题意故方方不能在11点30分前到达地．21（本题满分10分）如图，已知正方形的边长为1，正方形的面积为，点在边上，点在的延长线上，设以线段和为邻边的矩形的面积为，且．（1）求线段的长．（2）若点为边上的中点，连接，求证：．【解析】根据题意，得，,（1）设，则，∵，∴，解得（负根舍去），即．（2）∵点为边的中点∴，14/14 ∵,点，，在同一直线上，∴,∴．22．（本题满分12分）设二次函数（，是实数）．（1）甲求得当时，；当时，；乙求得当时，．若甲求得的结果都是正确的．你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求出该函数的最小值（用含的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过和两点（，是实数）．当时，求证：．【解析】（1）乙求得的结果不正确，理由如下：根据题意，知图象经过点，，所以，当时，．所以乙求得的结果不正确．（2）函数图象对称轴为，当时，函数有最小值，．（3）∵，∴，∴14/14 ∵，结合函数的图象∴，∴∵，∴23．（本题满分12分）如图，已知锐角三角形内接于⊙，于点，连接.（1）若，①求证：．②当时，求面积的最大值．（2）点在线段上，，连接，设，（、是正数），若，求证：．【解析】（1）①证明：连接、，，，．②作，垂足为点，则（当点在同一直线上时取等号）.由①可知，14/14 ，即面积的最大值为.（2）设，∵是锐角三角形，∴∴∵∴∵∴由此可得：，∴．14/14