随机变量及离散型随机变量

《随机变量及离散型随机变量》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、关于随机变量的研究，是概率论的中心内容．1.4随机变量在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系。例如，在产品检验问题中出现的废品数；在车间供电问题中某一时刻正在工作的车床数；测量的误差；灯泡的寿命等都与数值有关。因此，在随机试验中，我们的观测对象常常是一个或若干随机取值的变量。有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能用数值来描述。例如，在掷一枚硬币问题中，每次出现的结果为正面（记为H）或反面（记为T），与数值没有关系，但是我们可以用下面方法使它与数值联系起来，当出现正面时对应数“1”，而出现反面时对应

2、数“0”，即相当于引入一个定义在样本空间上的变量，其中由于试验结果的出现是随机的，因而的取值也是随机的。通过以上的分析，我们可以看到：一类试验的结果，自然地对应着一个实数；而另一类试验的结果需要人为地建立试验结果与数值的关系。由此可见，无论是那一种情况，都是试验结果（即样本点）和实数之间的一个对应关系。一、随机变量定义.设={}是试验的样本空间，如果量X是定义在上的一个单值实值函数即对于每一个，有一实数X=X()与之对应，则称X为随机变量。直观上讲，随机变量就是随着试验结果的不同而取不同数值的

3、量。随机变量常用X、Y、Z或、、等表示。例3-1有5件产品，其中2件是次品（用a1，a２表示），3件是正品（用b１，b２，b３表示）。从中任意取出2件，此时随机试验的样本空间为:Ω＝｛（a１，a２），（a１，b１），（a１，b２），（a１，b３），（a２，b１），（a２，b２），我们将Ω中的样本点依次记为:（a２，b３），（b１，b２），（b１，b３），（b２，b３）｝考虑抽取的两件产品中次品的个数X，显然X是定义在Ω上的一个随机变量，即Ｘ＝Ｘ（ω）。可具体表示为:随机变量Ｘ＝Ｘ（ω）取不同数值的概

4、率为：通常记为：称为随机变量的概率分布。根据概率分布，可以清楚地看到随机变量Ｘ的取值和概率。例如：为此我们引入随机变量分布函数的定义。Ｘ012P二、随机变量的分布函数(一)分布函数的概念.定义设X是随机变量，对任意实数x，事件{Xx}的概率P{Xx}称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即F(x)＝P{Xx}.易知，对任意实数a,b(a

5、任意实数x，0F(x)1，且3、右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。若随机变量X以函数Ｆ（x）为其分布函数，通常也称X服从分布函数Ｆ（x），常记作Ｘ～Ｆ（x）有些书中将分布函数定义为Ｆ（x）＝Ｐ（Ｘ＜x），这与我们的定义无本质区别。在此定义下，上述4个基本性质中（1）、（2）和（3）同样成立，性质（4）则由“右连续”变为“左连续”。随机变量的分类：（1）离散型随机变量：随机变量仅取数轴上的有限个或可列个点。（2）连续型

6、随机变量：随机变量的可能取值充满数轴上的一个或若干区间。（3）奇异型随机变量：既不是离散型随机变量，也不是连续型随机变量。1.5离散型随机变量1.定义若随机变量X取值x1,x2,…,xn,…且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pn,…,则称X为离散型随机变量，而称P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)为X的分布律或概率分布。可表为X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…x1x2…xK…Pkp1p2…pk…(1)pk0,k＝1,2,…;(2)例1设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取

7、3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解k可取值0，1，22.分布律的性质X012P0.10.60.3一般地，对离散型随机变量X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函数为例1中随机变量X具分布律如右表解X012P0.10.60.3试求出X的分布函数。离散型随机变量的分布函数是阶梯函数,分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应值的概率;反之,如果某随机变量的分布函数是阶梯函数,则该随机变量必为离散型.-10130.30.30.20.2例3.某射手对目标独立射击

8、5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5则A1,A2,…A5,相互独立且P(Ai)=p,i=1,2,…5.SX={0,1,2,3,4,5},(1-p)5013.几个常用的离散型分布(一)退化分布若随机变量只取常数a，即P{X=a}=1，则称X服从a处的退化分布（二）.(0-1)分布若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服