随机变量及离散型分布.ppt

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1、第二章随机变量及其分布一、随机变量二、离散型随机变量的概率分布三、随机变量的分布函数四、连续型随机变量五、随机变量函数的分布下页§2.1随机变量例1.从一批种子中随机抽取20粒进行发芽试验,观察发芽粒数.显然Ω={0，1，…，20}，用变量X表示发芽粒数，则X的所有可能取值为0，1，…，20.下页例2.掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况.记ω1={正面朝上}，ω2={反面朝上}.X也是定义在Ω={ω1，ω2}上的函数，是随机变量.X(ω)ωR1.随机变量的定义下页定义设随机试验E的样本空间为Ω，如果对于每一个ω∈

2、Ω，都有唯一的一个实数X(ω)与之对应，则称X(ω)为随机变量，并简记为X.注意：1.X是定义在Ω上的实值、单值函数.2.因随机试验的每一个结果的出现都有一定的概率，所以随机变量X的取值也有一定的概率.3.随试验结果不同,X取不同的值，试验前可以知道它的所有取值范围，但不能确定取什么值.2.用随机变量表示随机事件例3.在灯泡寿命试验中，{灯泡的寿命不低于1000小时}可用随机变量X表示为{X≥1000}.例4.用随机变量X表示玉米穗位，则{玉米穗位在100到120厘米之间}可以表示为{100≤X≤120}.例5.{

3、正面朝上}可以表示为{X=1}.一般地：{X=k}，{X≤a}，{a＜X≤b}表示一个随机事件.下页3.随机变量的类型①离散型随机变量随机变量的可能取值仅为有限个或可列多个.②非离散型随机变量一般讨论：连续型随机变量.§2.2离散型随机变量的概率分布定义设离散型随机变量X所有可能的取值为x1,x2,…,xk,…X取各个值的概率为P{X=xk}=pk,k=1,2,…一、离散型随机变量X的概率分布的定义及性质一般用下面的概率分布表来表示Xx1x2…xn…Pp1p2…pn…则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布列(律

4、).下页①Pk≥0(k=1,2，…)；②例1.已知随机变量Ｘ的概率分布为,求常数a.解：由概率分布的性质知即15a=1,解得下页分布列的性质X0123P6白4红10球下页例2.在一个袋子中有10个球，其中6个白球，4个红球.从中任取3个，求抽到红球数的概率分布.解：用X表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为0,1,2,3,且取每一个值的概率分别为X概率分布律为例3.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.P｛X=0｝=(0.1)(0.1)=0.01P｛X=1｝=2(0.9)(0.1)

5、=0.18P｛X=2｝=(0.9)(0.9)=0.81解：用X表示两次独立投篮投中次数，则X所有可取的值为0、1、2.XP0120.010.180.81X的概率分布律为下页二、几种常见的离散型随机变量的概率分布1、0-1分布定义如果随机变量X只可能取0和1两个值,其概率分布为即XP10pq下页则称X服从0-1分布，记作X～B(1,p)(p为参数).或特别当n=1时，二项分布为退化为0-1分布.2、二项分布显然,下页则称X服从参数为n，p的二项分布,记作X~B(n,p).定义如果随机变量X的概率分布为②P{X≥8}=

6、P{X=8}+P{X=9}+P{X=10}例4.设鲁麦11号的发芽率为0.7，现播种10粒，求①恰好8粒发芽的概率；②不少于8粒发芽的概率；③能发芽的概率.下页解:设X表示种子发芽的粒数,则X的所有可能取值为0,1,…,10,且X~B(10,0.7)，所求事件的概率为①P{X=8}③P{X≥1}=1-P{X=0}解题要点：①给出X的含义；②指出X所服从的分布.于是所求的概率为例5.某人进行射击，其击中率为0.02,独立射击400次,试求击中的次数大于等于2的概率.≈0.9972.下页解:将每次射击看成是一次贝努里试

7、验，X表示在400次射击中击中的次数，则X~B(400，0.02)，其分布律为3、泊松分布则称X服从参数为l(l>0)的泊松分布,记为X~P(l).下页定义如果随机变量X的概率分布为服从泊松分布的相关概率,可查表计算.《泊松分布表》的计算为解：设X表示呼叫数，由题意知X～P(3)，则③P{X=2}=P{X≥2}－P{X≥3}=0.80085－0.57681=0.22404.②P{X＜6}=1－P{X≥6}=1－0.08392=0.91608.①P{X≥6}①呼叫次数不小于6；②呼叫次数小于6；③呼叫数恰好为2.下页

8、例6.某电话交换台在一天内的收到的呼叫次数服从参数为3的泊松分布，求下列事件的概率:①若一人负责维修30台设备，求发生故障不能及时维修的概率；②若3人共同维修100台设备呢？③需配备多少工人才能保证不能及时维修的概率不大于0.02？解：设X表示同时发生故障的台数，则X～B(n,0.01)，由于n较大p较小，l=np适中,可用泊松分布作近似计算.①n=30，p