7.5多边形的内角和与外角和

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1、多边形内角和公式的推导及应用素材一n边形的内角和公式：n边形的内角和:（n－2）×180°其指导方法如下方法法1：从一个顶项点出发可以引出（n－3）条对角线，这样把多边形分割成了（n－2）个三角形（如图1），由图可知这（n－2）个三角形的内角的总和恰好是曲形的内角和，故而可得n边形的内角和为（n－2）x180°方法2：在多边形的内部任取一点G，和各个顶点连接，这样把多边形分割成了n个三角形（如图2），由图可知这n个三角形的内角的总和恰好比n边形的内角和多一个周角，故而可得n边形的内角和为n×18

2、0°＝360°－（n－2）×180°方法3：在多边形的边上任取一点G，和各个顶顶点连接，这样把多边形分割成了（a－1）个三角形（如图3），由图可知这（n－1）个三角形的内角的总和恰好比n边形的内角和多一个平角，故而可得边形的内角和为（n－1）x180°－180°－（n一2）x180°方法4：在多边形的外部任取一点G，和各个顶点连接，这样把多边形分割成了n个三角形（如图4），由图可知这n个三角形的内角的总和比n边形的内角和多以下几部分：①角形AFG的内角和180°；②各个三角形的一个角组成的和∠A

3、GF：，③∠GAF和∠AFG，而且∠AGF＋∠GAF＋∠AFG－180°，故而可得n边形的内角和为nx180°－180°－180°－（n－2)×180°分割一探索多边形及其内角和的策略素材二一、概念的理解：1．多边形的定义在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形，叫做多边形．2．正多边形的定义在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫正多边形二、多边形性质：1.探索多边形内角和公式（1）n边形内角和公式：（n－2）x180°（2）内角和公式的探求方法：思路一：如图1，过n

4、边形的一个顶点可以（n－3）条对角线，多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形内角和为180°，所以n边形内角和为（n－2）x180°思路二：如图2，过n边形内任意一点与n边形各顶点连结，可得n个三角形，其内角和n×180，再成去以O为顶点的周角．即得形内内角和为nx180°－360°，思路三：如图3，在n边形的任一边上任取一点0，然后与各顶点连接这样就得到（n－1）个三角形，由于每个三角形内角和为180°，所以n边形内角和为（nx180－180°＝（n－2）x180°．3．规律：所有多边形的内

5、角和随边数的变化是：边数每增加1，内角和就增加180°三、多边形外角和公式的探求方法：1.思路：（用计算的方法）设n边形的每一个内角为∠1，∠2，∠3，...，∠n，其相邻的外角分别为180°—∠1，180－∠2，180°－∠3，…，180°－∠n外角和为（180°—∠1）＋（180°－∠2）＋（180°—∠3）＋（180°—∠n）＝n×180－（n－2）x180=360°,2.规律：所有多边形的外角和不随边数的变化而变化，始终是360；内角和随边数的变化是：边数每增加1，内角和就增加180°，

6、四、典型例题部析例1．一个多边形的内角和是900度，这是几边形？解：设这是个n边形，内角和为（n－2）x180°，由题意可知（n－2）x180°＝900°n－2＝5，n＝7，所以这是多边形是七边形例2．一个四边形的四个内角的比是1：2：3：4，求它的度数解：设这个四边形的四个内角分别为x，2x，3x，4x，由于四边形的内角和是360°，所以有x＋2X＋3X＋4x＝360，・．10X=360,x=36,2X=72°，3X=108°，4X=144°，故四边形各角的度数分别为36°，72°，108°，

7、144°例3．小美想：2018年上合组织在青岛召开，设计一个内角和为2018°的多边形图案多有意义，小美的想法能实现吗？解：小美的想法无法实现因为多边形内角和为（n－2)×180，一定是180的整数倍，而2018不能被180整除，所以不可能有内角和为2018°的多边形形，