2016年河南省郑州市高三第一次质量预测数学理试题（解析版）

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1、河南省郑州市2016年高三第一次质量预测考试理科数学（时间120分钟满分150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．（2016郑州一测）设全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】注意全集U是小于或等于4的正整数，∵，∴．2．（2016郑州一测）设（是虚数单位），则（）A．B．C．D．0【答案】C【解析】直接代入运算：．3．在中，角所对的边分别为，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理，得：，∴．∴，，∴，．4．（2016郑州一测）函数在点处的切线斜率为（）A．0B．C．1D．【答案】C【解析】，∴．5．（20

2、16郑州一测）已知函数，则在上的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】画出和的图象便知两图象有3个交点，∴在上有3个零点．6．（2016郑州一测）按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框？处应补充的条件为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】．7．（2016郑州一测）设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵抛物线的焦点为．∴解得．8．正项等比数列中的是函数的极值点，则（）A．1B．2C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∵，∴，．9．（2016郑州一测）如图是一个四面体的三视图，这三个视图

3、均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】四面体的直观图如图，∴．10．（2016郑州一测）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，，当且仅当时，．时，∴．依题意，∴．11．（2016郑州一测）已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．12．（2016郑州一测）已知函数，若关

4、于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是（）A．2B．3C．5D．8【答案】D【解析】∵不等式恰有1个整数解，当时，则，不合题意；当时，则．依题意，∴，∴，故选D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中，的系数是_______．【答案】【解析】，令，解得，∴的系数为．14．若不等式所表示的平面区域为，不等式组表示的平面区域为，现随机向区域内抛一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为________．【答案】【解析】．15．的三个内角为，若，则的最大值为________．【答案】【解析】，∴，∴，∴．．16．已知点，，，平面区域是由所有满足的点组成的区域，

5、若区域的面积为，则的最小值为________．【答案】【解析】设，，∵，∴．∴，∴，∵，∴，即∴表示的可行域为平行四边形，如图：由，得，由，得，∴,∵到直线的距离，∴，∴，∴，∴，.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列的首项为，前项和，且数列是公差为的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【解析】（1）由已知得，∴．当时，．，∴，．（2）由⑴可得．当为偶数时，，当为奇数时，为偶数，综上，18．（本小题满分12分）某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一

6、天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元万元若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为．（1）若不额外聘请工人，写出基地收益的分布列及基地的预期收益；（2）该基地是否应该外聘工人，请说明理由．【解析】（1）设下周一有雨的概率为，由题意，，基地收益的可能取值为，则，，，∴基地收益的分布列为：201510，∴基地的预期收益为万元．（

7、2）设基地额外聘请工人时的收益为万元，则其预期收益（万元），，综上，当额外聘请工人的成本高于万元时，不外聘工人；成本低于万元时，外聘工人；成本恰为万元时，是否外聘工人均可以．19．（本小题满分12分）如图，矩形和梯形所在的平面互相垂直，，，．（1）若为中点，求证：∥平面；（2）求平面与平面所成二面角的大小．【解析】（1）证明：设与交于点，连接，在矩形中，点为中点，∵为中点，∴∥，又∵平面，平面，∴∥平面．（2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平