张量分析——郑泉水

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1、0.1.欢迎辞（代序）10.1欢迎辞（代序）首先,我对选择2009秋季学期《张量分析》课程的全体同学表示欢迎.我期待着与你们一道,努力使得这门课成为大家一段有益和有趣的经历.自28年前完成第一篇应用张量分析的研究论文以来,我在有关领域,尤其是现代张量函数的表示理论领域耕耘了二十多年,形成了一些独到的心得,无疑将乐见与大家分享.张量分析的理论可追溯到十九世纪上半叶,源于史上最伟大的数学家之一Gauss所创立的微分几何.自1915年Einstein发表广义相对论以来,张量分析成为理论物理的一个重要工具,成为现代

2、微分几何的基本语言.二十世纪下半叶应用力学得到了蓬勃发展,有人1归结于理性力学的复兴、电子计算机和新计算方法的发明和太空探索这三大要素.现状是,不熟悉张量分析的人,已难以阅读建立在连续介质模型基础上的固体力学和流体力学等方面的相当比例的研究文献.我将该课程的目标,定位为如下几个层级：1、学习为阅读大部分现代研究文献所需的张量分析基本知识;2、初步能将张量分析作为方便的、有力的研究工具,并应用于自己的研究课题中;3、对张量分析有较深入的理解,可以灵活应用,对现代张量函数理论和微分几何有初步的了解.为帮助大家实

3、现第1、2和3级目标,我大概将分配各20个课堂学时的讲课.由于张量分析是一门技巧性很强的课程,不仅要听课,更必须做相当数量的练习,否则将一无所获.因此,需要的课外时间投入将数倍于课内时间.我将根据对每一位所达到上述层级情况的判断,给出最终成绩.主要将根据:i、平时作业完成情况;ii、研究型大作业完成情况;iii、最终考试成绩.研究型大作业完成情况很好的同学,可以免除期末考试.教学主要参考书是黄克智、薛明德和陆明万老师编著的《张量分析》我自己将力争给出中（或）英文讲义,每次课程的前后,上载到本网站.请大家留意

4、并下载.0.2为什么要学张量分析？客观存在的物理量,大多数都可以看作为张量.时间、长度、质量、温度等基本物理量,是0阶张量,也通称标量;力、速度与加速度、电磁场等,则是1阶张量,也叫矢量;广义相对论中空间的度量,连续介质（包含流、固体等）力学中的应力、应变,刚体的转动惯量等,则是2阶张量;而特定材料的线性弹性性质,则可由一个4阶张量来统一表征.总之,张量普遍存在,尤其是复杂现象往往包含不少既非标量、也非矢量的2阶或2阶以上的张量.由于计算技术的迅猛发展,人们可以定量研究越来越复杂的现象,提供越来越精细的成果

5、、从而获取高品质的产品.从材料、到结构、到过程等,不仅研究已有的东西,也越来越多1“1950年以来应用力学受到了科学和工程的三个发展的强烈影响:理性力学的复兴、电子计算机和新计算方法的发明以及太空探索.＂－－Y.H.Pao(美国工程院院士):Appl.Mech.inScienceandEngineering,Appl.Mech.Rev.(1998)2地进行设计和优化.在这个潮流中,张量已经成为大多数现代应用力学文献的基本语言.缺乏张量分析的手段,许多现代本构方程的研究和建立,也许就不会出现.例0.2.11：

6、汽车模具;大变形,弹塑性,各向异性.例0.2.22：笛卡儿坐标系{x,y,z}下的线性弹性动量平衡方程为:∂σx∂τxy∂τxz+++ρfx=ρu,¨∂x∂y∂z∂τyx∂σy∂τyz+++ρfy=ρv,¨(0.2.1)∂x∂y∂z∂τzx∂τzy∂σz+++ρfz=ρω,¨∂x∂y∂z用张量语言,则简化为:σij,j+ρfi=ρu¨i,(0.2.2)或σ·∇+ρf=ρu¨.(0.2.3)张量概念的引进,使得人们可以将关注力集中在问题的物理实质上,而不为非实质性的繁杂所掩盖.初学者常遇到的问题是,不仅仅用不

7、上上述简化带来的好处,反而由于对张量方程的一知半解,而认识不到背后的细节.学问如此,张量分析带来的或许不是好处,而是弊病.张量分析犹如一把锋利的宝刀,它可以“快刀斩乱麻＂解决复杂而困难的问题,也可以伤人伤己.因此,一定要通过认真的学习和丰富的实践,真正加于掌握.比如,隐藏在上述张量方程背后的故事有:(i)指标记法:x=x1,y=x2,z=x3,u=u1,v=u2,w=u3,(0.2.4)σx=σ11,τxy=σ12,τxz=σ13,τyx=σ21,σy=σ22,τyz=σ23,(0.2.5)τzx=σ31,

8、τzy=σ32,σz=σ33.(ii)自由指标:将{xi:i=1,2,3}简记成xi;{σij:i,j=1,2,3}简记成σij,等等,以及∂f=f,i.(0.2.6)∂xi这种由小写拉丁字母i,j,k等等作为指标,其值自由取1,2,3的,叫做自由指标.0.2.为什么要学张量分析？3(iii)上述微分方程组的左边可简化为：⎧⎪⎪X3⎪⎪⎪⎪σ11,1+σ12,2+σ13,3+ρf1=σ1j,j+ρf1⎪⎪⎪⎪j=