考点透析22解决分类讨论问题的思维策略

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1、考点透析22解决分类讨论问题的思维策略分类讨论思想是数学思维的重要思想，而分类讨论思想是人们解决问题的最高思想境界，分类思想在历年的数学高考中都有所考査，解决分类讨论问题的思维策略如下：①明确题意，确定级别；②确定标准,逐级分类；③逐类比较，归纳结论。例1.已知函数f(x)=ax3——(6f+2)x2+6x-3试讨论曲线y=f(x山x轴的公共点的个数。第一级分类:曲线类型，标准Q=o二次抛物线，QH0三次抛物线；第二级分类:开口方向，标准。>0开口向上开口向下222第三级分类:根的大小比较，标准

2、-=1;->1;-<1aaa解：ff(x)=3ax2一3(a+2)x+6=3[ax2一(a+2)x+2]当a=0时，/(x)=-3(x-l)2<0,/(x)=0有且仅有一解;0当xO时,八心心)(-1),》1,・也小诫用)「％:丫七0丿5)=拧>0所以，此时/(兀)=0有三个不同的实数解；r°当a>0时,1°若—〉1,即00函数为R上增函数,/(0)=-

3、3<0,/(2)=1>0,a/(X)=0有且仅有一解；=/(!)=23°•若-<1,即a>2时,a/(x)=0有且仅有一解；综上所述：<7>0时，［11J线y=f(x)与x轴有且只有一个公共点，dV0曲线y=f(x)与x轴有三个公共点.例2.(2005江苏改编)己知dW/?,函数/⑴卜-cz

4、.求函数y=f(x)在区间［1,2］上的最小值.解：设此最小值为加.2%1当a

5、⑴是区间［1,2］上的增函数,所以m=/(l)=1-6/・%1当10，由/*(a)=0知m=/(a)=Or%1当a>2时，在区间[1,2]±,f(x)=ax2-x3广(x)—2ax-3x2—3x(—6/-x)若a»3,在区间(1,2)上，广(兀)>0,则子(兀)是区间［1,2］上的增函数,所以m=f(V)=a-l.2若20,则/(兀)是区间[1,-d]上的增函数,22当一a<

6、x<2时，广(兀)<0,则.f(x)是区间[-a,2]上的减函数,因此当2vav3吋，m=/(I)=a-1或m=/(2)=4(a-2).7当2—3例3.(2006年上海高考题改编)设数列■IQQ2纭+g,2,...,2k).求满足不等如=+“2=+33…+1抵一

7、_q1+1砥—

8、㊁IW4,求£的值.解:31设b号解得诅+亍又n是正整数，于是333当Mk时,bn<-:bn--=-~bn当nNk+1时=bn--22233333原式巧-bJ+q-b2)+...+q-bk)+(bk+r)+...+(b2k-厂(b”也)-b+...+bQ=[丄(k+2k-V)k-(0+k-l)k2k-12k-I+k]=k22k-I当一W4,得k2-8k+4<0,4-2a/32,2—1・・・当k=2,3,4,5,6,7时，原不等式成立.例4.已知/(兀)=兀+土(。>0),

9、且当xe[1,3]时，/!nin(x)=n/max(x)=m,求in-n的最小值.X解：*f(x)=x+—(a>0),a241°若0va—3332。若15av3,・・・/&)在[l,3],n=2需，加二max{/(3)J(l)}=3+?,・••加一〃=3-2需+纟〉3+也3333°若3So<9,.*./(x)4[1,3],n=2>/«,in=max{/(3),/(1)}=1+a,则m-n=+a-2>[a>4-2/34°若,m=/(-l)=

10、1+6/x.f(-3)=3+彳,,h-h^-2>43（12分）（14分）v4-2V3<-<4<3+^,(z7?-/i).=4-2^3(当a=3时取最小值)33（考查1=1标：1°检验类似于一元二次函数图象与根的分布问题，2°数形结合思想，3°分类讨论思想）例5.解关于兀的不等式:ax2-（a+l）x+l<0（答案见备备考考指南P⑷例3）分析：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）3工0（2）a=0,对于（2）,不等式易解；对于（1）,乂需再次分类：