《几何基础》考核说明

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1、第2章仿射变换教学辅导-、内容解析1.仿射对应（1）平行射影：过直线d上的点A,B,…，作与/平行的直线，交/于A',B，,…，于是得到a与N上点之间的一一-对应，这个一一对应叫做从d到N的平行射影（或叫做透视仿射），记作To直线g与兀，兀‘不平行，过龙上的点A,B,…，作与g平行的直线，交力于A',B，,…，于是得到龙与0上点之间的一一对应，这个一一对应叫做从龙到兀'的平行射影（或叫做透视仿射），记作（2）自对应点：龙与K的交线/上的点都是平行射彫的自对应点（或叫做二重点或不动点）。（3）直线/叫做对应轴.（4）平行射影的不变性%1平行射影保持同素性不变.即，仿射对应把点映成点

2、，把直线映成直线.%1平行射彫保持结合性不变.即，若点A在直线a上，则点4’在直线a'上.（5）仿射对应：设心，龙2,…，百是空间内"个平面，7；,T2,…，分別是勺龙门到百的平行射影，于是这些平行射影的复合T=昭・Tn_2•T2•7；:眄t7in是叭到盒的一个一一对应，我们把这个一一对应叫做兀、到百的仿射对应.（6）仿射变换：当兀=儿吋，叫做仿射变换・（7）仿射不变性%1仿射对应保持同素性不变.即，仿射对应把点映成点，把直线映成直线.%1仿射对应保持结合性不变.即，若点A在直线a上，则点4’在直线M上.注意：仿射对应不一定是平行射影，即，原象点与象点之间的连线不一定平行，反过

3、来,平行射影一定是仿射对应2.仿射不变性与仿射不变量在平行射影下不变的性质和不变量，在仿射对应下也是不变的，这些性质叫做仿射不变性和仿射不变量.性质1同素性在仿射对应下保持不变.因此，仿射对应把点映成点，把直线映成直线.性质2结合性在仿射对应下保持不变.因此，仿射对应把共点线变成共点线，把共线点变成共线点.定理2.1在仿射对应下，两直线间的平行性保持不变.推论2.2平行四边形在仿射对应下的象仍是平行四边形.定义2.1设A,B,C是有向直线上的三点，如图2-3所示，>JJABCAr有向线段的数量比—,叫做这三点的简比(或单比)，图2-3BCAT记作(ABC),即(ABC)=—BC■

4、显然：(1)当C在A,3之间时，(ABC)<0；(2)当C在A,〃之外时，(ABC)>0；(3)当C=A时，(ABC)=O；(4)当C=B时，G4BC)=oo.定理2.3共线三点的简比是仿射不变量.定理2.4两条平行线段的比是仿射不变量.定理2.5直线上两条线段的比是仿射不变量.注意：一般地，任意两条线段的比，不是仿射不变量.即，如果两条线段不平行，则它们的比在仿射对应下会改变.注意：1.距离(长度)不是仿射不变量；2.角度不是仿射不变量.定理2.7在仿射对应下，任何一对対应三角形面积之比等于常数(是仿射不变量).推论2.8任意两个多边形面枳之比是仿射不变量，因此任意两个图形面积

5、的比是仿射不变量.即，两个三角形，仿射前面积的比等于仿射后面枳的比。3・仿射变换的代数表达式定理2.9在仿射坐标系下，设共线三点A,B,C的坐标为(坷，儿)，(x2,y2),(心，儿)，则三点的简比为⑷C)=医二BCx3-x2儿-丁2仿射变换的代数表达式：仿射变换把点P(x,y)变成点P(UV)的代数表达式为V」_a2ia22]_y][b{x=a+d]]兀+。]2『[yf=ba2lx+a22y其中如如工0.推论2.10不共线的三对对应点决定唯一一个仿射变换.4.仿射变换的特例(1)平移变换把点P(兀，刃平移到点Q(y,y‘)，坐标关系式为xf=x+a

6、线段的长度不变.(2)旋转变换取直角坐标系，以原点0(0,0)为旋转中心，旋转角为0,点P(x,y)旋转后变成Pxy'),坐标关系式为x=xcos0-ysinO[yr=兀sin&+ycos0其中cos〃一sin〃A=sin&cos0满足AA,=AfA=I.即，A为正交矩阵.(3)反射变换在平面上取一定直线/,使平面上的点P对应到它关于直线/的对称点P’，这样的变换叫做反射变换.直线/上的点都是自対称点，叫做反射变换的不动点.直线/叫做反射对称轴.坐标关系式为兀‘=兀y=—y(4)位似变换在平面上取一定点0和一个非0常数使0对应口己，#其它的点P#对应P',三点0,P,P在一

7、条直线上，简比为(0PP)=k,0叫做位似中心，k叫做位似比.选取直角坐标系，以原点为位似中心，位似变换表达式为=kx[y，=ky位似变换把直线变成与之平行的直线，把图形变成相似形.二、典型题讲解1.填空题1)在仿射变换下梯形变成().2）仿射变换把平行四边形变成（）3）仿射变换把三角形中位线变成（）.4）仿射变换把三角形重心变成（）.5）在仿射变换下，矩形变成（）.6）仿射变换把圆变成（）.7）仿射变换把圆心变成（）.8）仿射变换把等腰三角形变成（）.解［理论］仿射变换性质：仿