波函数薛定谔方程一维势阱隧道效应贺泽东

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1、量子力学建立于1923~1927年间，两个等价的理论——矩阵力学和波动力学.相对论量子力学（1928年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程.薛定谔（ErwinSchrodinger，1887~1961）奥地利物理学家.1926年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学,并建立了量子力学的近似方法...19-7波函数薛定谔方程一波函数概率密度1）经典的波与波函数电磁波机械波经典波为实函数2）量子力学波函数（复函数）自由粒子能量和动量是确定的，其物质波的频率和波长均不变，自由粒子的物质波是一列平面单色波.待定常数相当于x处波函数的复振幅反映波函数随时间的变化e),

2、()(π2ilnxtAtxy--=经典的沿x方向传播平面单色波的自由粒子的波函数为沿X方向匀速直线运动三维的自由粒子的波函数为沿X方向匀速直线运动沿方向匀速直线运动的自由粒子的波函数为——t时刻，粒子在空间r处的单位体积中出现的概率，又称为概率密度1.时刻t,粒子在空间r处dV体积内出现的概率2.(粒子在整个空间出现的概率为1)3.波函数必须单值、有限、连续概率密度在任一处都是唯一、有限的,并在整个空间内连续3）波函数的统计意义(1926年玻恩)归一化条件波函数的三个标准条件：连续因概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续；单值因任一体积元内出现的概率只

3、有一种，故波函数一定是单值的；有限因概率不可能为无限大，故波函数必须是有限的；以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件德布罗意波（概率波）不同于经典波（机械波、电磁波）德布罗意波经典波是振动状态的传播不代表任何物理量的传播波强（振幅的平方）代表通过某点的能流密度波强（振幅的平方）代表粒子在某处出现的概率密度概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非取决于波强的绝对值。能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大C倍，不影响粒子的概率密度分布，即和C所描述德布罗意波的状态相同。因此，将波函数在空间各点的振

4、幅同时增大C倍，则个处的能流密度增大C倍，变为另一种能流密度分布状态。波函数存在归一化问题。波动方程无归一化问题。波函数存在归一化问题。微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是量子力学的一个基本假设。——t时刻，粒子在空间r处的单位体积中出现的概率，又称为概率密度波函数的标准条件：单值、有限、连续波函数的归一化条件记忆经典力学牛顿力学方程根据初始条件可求出经典质点的运动状态经典质点有运动轨道概念不考虑物质的波粒二象性量子力学针对物质的波粒二象性微观粒子无运动轨道概念运动状态波函数量子力学方程是否存在一个根据某种条件可求出微观粒子的薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方

5、程引言二　薛定谔方程（1925年）基本算符量子力学中的算符是表示对某一函数进行某种数学运算的符号。在量子力学中，一切力学量都可用算符来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。算符劈形算符数学运算符号拉普拉斯算符动量算符动能算符哈密顿算符含动、势能位矢算符力学量算符统称举例若作用在某函数上的效果和与某一常量的乘积相当，即则称为的本征值称为的本征函数所描述的状态称为本征态力学量的可能值是它的本征值力学量的平均值由下述积分求出自由粒子薛定谔方程的建立自由粒子平面波函数上式取x的二阶偏导数和t的一阶偏导数得自由粒子一维运动自由粒子的含时薛定谔方程del薛定谔方程二、薛

6、定谔方程薛定谔方程1925年奥地利物理学家薛定谔提出的非相对论性的量子力学基本方程获1933年诺贝尔物理学奖薛定谔EnwinSchrodinger（1887-1961）薛定谔EnwinSchrodinger当其运动速度远小于光速时它的波函数所满足的方程为质量为的粒子在势能函数为的势场中运动它反映微观粒子运动状态随时间变化的力学规律，又称含时薛定谔方程。式中，为哈密顿算符，薛定谔方程薛定谔方程定态薛定谔方程可分离变量，写成解释：若则积分解得将常量归入中，得定态波函数此外，对得定态薛定谔方程故常量时间的函数空间的函数由对应一个可能态有一常量定态薛定谔方程势场只是

7、空间函数即若粒子所在的有一个能量定值含时薛定谔方程定态波函数对应于一个可能态，则其概率密度与时间无关所描述的状态。它的重要特点是：所谓“定态”，就是波函数具有形式定态波函数中的称为振幅函数（有时直称为波函数）。的函数形式也应满足统计的条件连续、单值、有限的标准条件；归一化条件；对坐标的一阶导数存在且连续（使定态薛定谔方程成立）。定态问题是量子力学最基本的问题，我们仅讨论若干典型的定态问题。若已知势能函数，应用定态薛定谔方程可求解出，并得到定态波函数续上定态薛定谔方程定态波函数含时薛定谔方程定态了解0xU(x)=0a，2.哈密顿量3.定态薛定谔方程由得：1

8、.势能函数三一维势阱问题令得阱内：定态薛定谔方程阱外