薛定谔方程一维势阱

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1、量子力学建立于1923~1927年间，两个等价的理论—矩阵力学和波动力学。相对论量子力学（1928年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程。薛定谔（ErwinSchrodinger，1887~1961）奥地利物理学家。1926年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学,并建立了量子力学的近似方法。薛定谔是奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔方程的量子力学波

2、动方程。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。在经典极限下，薛定谔方程可以过渡到哈密顿方程。薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子(如电子等)运动状态的基本定律，在粒子运动速率远小于光速的条件下适用。薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理学和生物学相结合，形成了现代分子生物学的最显著的特点之一。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。(1887—1961)在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写；状

3、态随时间的变化遵循着一定的规律。1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，建立了势场中微观粒子的微分方程，并提出了一系列理论体系，当时被称作波动力学，现在统称量子力学。1、薛定谔方程建立应满足的条件（1）波函数应满足含有时间微商的微分方程。（2）要建立的方程是线性的，即如果1、2是方程的解，则1和2的线性叠加a1+b2也应是方程的解（量子力学态的叠加原理）。（3）这个方程应该是普适的，其系数不应含有状态参量（动量、能量等）。11.7薛定谔方程（4）经典力学中自由粒子动量与能量的关系（非相对论关系）E=p2/2m在量子力学

4、中仍成立。沿x方向运动的动能为E和动量为的自由粒子的波函数2、单能自由粒子（沿x方向匀速运动）的薛定谔方程分别对时间和位置坐标求偏导数得：这就是一维自由运动粒子的薛定谔方程。利用E=P2/2m整理得：3、势场中单能粒子（沿x方向匀速运动）的薛定谔方程此时粒子具有的能量：同样导出：这就是势场中单能粒子的薛定谔方程利用E=P2/2m得：对势场中三维运动的粒子引入拉普拉斯算符：则有再引入哈密顿算符：则有一般的薛定谔方程4、定态薛定谔方程（即V(x,y,z)是不随时间变化）若作用在粒子上的势场不显含时间t，在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况，可用

5、分离变量法求薛定谔方程的特解。两边除以可得：由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边必须等于同一个常数，设为E则有：（定态薛定谔方程）与自由粒子波函数类比，E具有能量的量纲，它代表粒子的能量。把常数A归到空间部分，薛定谔方程的特解可写为：（定态波函数）对应的几率密度与时间无关。即：处于定态下的粒子具有确定的能量E、粒子在空间的概率密度分布不随时间变化，而且力学量的测量值的几率分布和平均值都不随时间变化。量子力学的处理方法（1）已知粒子的m，势能函数V，即可给出薛定谔方程（2）由给定的初、边值条件，求出波函数（3）由波函数给出不同地点、时

6、刻粒子的几率密度

7、

8、2下面以一维无限深势阱为例，求解定态薛定谔方程11.8一维无限深方势阱1、以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样确定定态的能量E，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果。已知粒子所处的势场为：粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力。称为一维无限深势阱。其定态薛定谔方程：在阱内粒子势能为零，满足：在阱外粒子势能为无穷大，满足：方程的解必处处为零：根据波函数的标准化条件，在边界上粒子被束缚在阱内运动。在阱内的薛定谔方程可写为：类似于简谐振子的方程，其通解：代入边界条件得：解得

9、：n不能取零，否则无意义。因为此结果说明粒子被束缚在势阱中时，能量只能取一系列分立值，其能量是量子化的。由归一化条件一维无限深方势阱中运动的粒子其定态波函数：称为量子数；为本征态；为本征能量。1、存在最小能级，称为基态能量。2、能量是量子化的。当能级分布可视为连续的，能量可视为连续变化。讨论3、能级间隔：若，同理可得例：电子在的一维无限深势阱中（近似于连续）（能量分立）在某些极限的条件下，量子规律可以转化为经典规律.势阱中相邻能级之差能量能级相对间隔当时，，能量视为连续变化.例：电子在的势阱中.（近似于连续）若时,（能量分立）当很大时，，量子效

10、应不明显，能量可视为连续变化。物理意义一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度2、势垒贯穿（隧道效应）在经典力学中,若粒子的动能,它只能在I区中