定态薛定谔方程的解法 一维无限深势阱与线性谐振子

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1、1.5定态薛定谔方程的解一维无限深势阱与线性谐振子本节首先讨论波函数的标准条件，然后利用（2）波函数归一化条件；（1）定态薛定谔方程；（3）波函数的标准条件；一维无限深势阱中运动的粒子与线性谐振子的能级和波函数。最后介绍“一维束缚定态的无简并定理”波函数的条件解释指出，归一化的波函数是概率波的振幅。在数学上应满足：1.5.1波函数的标准条件1.单调性；2.有限性；3.连续性；1.单调性；2.有限性；这是指应该是，t的单值函数。因为是t时刻在处发现粒子的概率密度，即要求为单值函数，但不要求是单值函数。在有限的空间范围内发现粒子

2、的概率有限3.连续性；定态薛定谔方程包含对坐标的二阶导数，要求及其对坐标的一阶导数连续。1.5.2一维无限深势阱设质量为的粒子在势场中运动用波函数标准条件和归一化条件求解上述势场的定态薛定谔方程这类问题的求解步骤：1.写出分区的定态薛定谔方程；2.引入参数简化方程，得到含待定系数的解；3.有波函数标准条件确定参数k；4.有波函数的归一化条件确定归一化常数A；5.由参数k得粒子的能量E；6.解的物理意义。1.写出分区的定态薛定谔方程；当势壁无限高是，不可能在势阱外发现能量有限的粒子，故阱外波函数为0势阱内定态薛定谔方程为：2.引

3、入参数简化方程，得到含待定系数的解；令由此得到00的线性相关，舍去当k=0;4.有波函数的归一化条件确定归一化常数A；取A为实数，则（1.5.11）（1）束缚态与离散能级6.解的物理意义。由可以知道，粒子不可能达到无穷远处粒子被束缚在有限的空间区域的状态称为束缚态粒子可达到无限远处的状态称为非束缚态一般情况下束缚态的能谱为离散谱（2）基态的能级不为零，是微观粒子波动性的表现在经典物理中，粒子的动量可以为零，有确定的坐标值和动量为零。在

4、量子力学中，坐标和动量不同时具有确定值。（3）激发态的能级能级分别不均匀。当量子n数很大时，能级可以看作是连续的，量子效应消失，并过渡到经典情况。（4）激发态的能级（5）薛定谔方程的解的线性组合在一维无限深势阱中粒子可能的态：定态：线性叠加态：粒子处于定态的概率为：1.5.3线性谐振子经典力学中，粒子受到弹力F=-kx作用时的势能量子力学中把在势场中运动的微观粒子称为线性振子，其势能曲线为抛物线（1）许多物理体系的势能曲线可以近似看作抛物线，双原子分子的势能曲线在稳定平衡点a附近的势能曲线。讨论谐振子的意义：（2）复杂的振动可

5、以分解为相互独立的谐振动动；（3)处理线性谐振子的方法适用于：坐标表象、粒子表象和电磁场量子化。（1）许多物理体系的势能曲线可以近似看作抛物线，双原子分子的势能曲线在稳定平衡点a附近的势能曲线。线性谐振子的哈密顿量线性谐振子的哈密哈密顿算符故，定态薛定谔方程为薛定谔方程的解题步骤：1.引入参数简化方程引人则，定态薛定谔方程可化为(1.5.21)代入（2）用幂级数解法求解厄米方程的代入方程，得其系数递推公式（3）波函数的有限性要求级数中断为多项式。由于级数在无穷远的行为取决于级数相邻两项系数之比在时的极限为：级数相邻两项系数之比

6、在的极限也为：当很大时，的行为与相同代入得线性谐振子的波函数：归一化常数4.由参数得粒子能量E即从量子力学基本假设（薛定谔）方程出发，导出了普朗克的能量子假设。振子的能量取离散值5.解的物理意义(1)谐振子的能量取离散值；(2)谐振子相邻能级的间隔均匀分布；(3)谐振子的基态能量是一个量子效应，当原子发生自发辐射，从高能态跃迁到地能态，实际上是电磁场的真空态与电子相互作用结果；（4）线性谐振子的能级是无简并的；（5）谐振子波函数的宇称为由（1.5.30）式可得，，可见波函数的奇偶性由n决定，通常称谐振子波函数的宇称为（6）与经

7、典谐振子的比较经典力学里，粒子在范围内出现的概率X=0速度最小，出现概率最大量子谐振子空间位置概率分布特点：a、在原点发现粒子的概率要么极大（n为偶）b、可以在经典禁区发现粒子（势垒穿透效应）。d、当量子数n越大时，其概率分布与经典概率分布越接近（b）图1.5.4一维束缚定态无简并定理再见