7、x
8、≤aP2),定态波动方程为2d2mE2Ψ+2Ψ=0(2)dxÜm为粒子的质量。令k=2mEPÜ(3)±ikx±ikx则方程(2)的解为Ψ(x)～sinkx,coskx或者e,由于V(x)=V(-x),Ψ具有确定宇称,故舍去e波函数为Ψ(x)～sinkx,coskx在阱外(
9、x
10、>aP2),定态波动方程为2
11、d2m2Ψ-2(V0-E)Ψ=0(4)dxÜ令收稿日期:2000-08-10作者简介:刘益民(1965—),男,广东省韶关大学物理系讲师。46刘益民:势阱中粒子的波函数和能级β=2m(V0-E)PÜ(5)则方程(4)的解为±βxΨ～e由于
12、x
13、v∞时,Ψ(x)v0,故波函数只能取如下形式-βxex>aP2Ψ(x)～(6)βxex>-aP21.2能级在阱内(
14、x
15、≤aP2),粒子波函数为Ψ(x)～sinkx或者coskx,因而必须分两种情形讨论。(a)波函数取如下形式-βxex>aP2βxΨ(x)～ex<-aP2(7)sinkx
16、x
17、≤aP2考虑到
18、Ψ(x)及Ψ′(x)在
19、x
20、=aP2处是连续的,故x=aP2(或x=-aP2)时,由(7)式有-βx(lnsinkx)′=(lne)′即-kctg(kaP2)=β(8)由(3)、(5)式得222ξ+η=2mv0PÜ(9)由(8)、(9)式可确定k和β(用数值计算求解或用图解法近似求解),由此求得E,即22E=kÜP2mk只能取分散值,因而体系的能量E是量子化的。(b)波函数取如下形式-βxex>aP2βxΨ(x)～ex<-aP2(10)coskx
21、x
22、≤aP2与上面类似,x=aP2(或x=-aP2)时,由(10)式得-βx(lncoskx)′=(
23、lne)′即ktg(kaP2)=β(11)(9)、(11)式联立,可确定k和β,从而求得E。2无限深势阱无限深势阱表为0
24、x
25、≤aP2V(x)=(12)∞
26、x
27、>aP2将(1)、(12)式比较,当(1)式中V0v∞,(1)式变为(12)式,故可仿照有限深势阱求出无限深势阱中粒子的波函数和能级。2.1波函数在阱内(
28、x
29、≤aP2),粒子定态波动方程与(2)式相同,故波函数为Ψ(x)～sinkx或者coskx47青海师专学报(自然科学)在阱外(
30、x
31、>aP2),V0v∞时β,v∞,(6)式中Ψ=0,即波函数为Ψ=02.2能级(a)波函数取如下形式0
32、
33、x
34、>aP2Ψ(x)=Asinkx
35、x
36、≤aP2A为归一化常数。考虑到Ψ(x)在
37、x
38、=aP2处是连续的,故x=aP2(或x=-aP2)时,由上式有AsinkaP2=0得k=2nπPan=1,2,3,4,⋯代入(3)式得222Üπ(2n)E=2(13)2ma(b)波函数取如下形式0
39、x
40、>aP2Ψ(x)=Bcoskx
41、x
42、≤aP2B为归一化常数。同理可得222Üπ(2n+1)E=2(14)2ma合并(13)、(14)式,得无限深势阱中粒子的能级222ÜπnE=En=2n=1,2,3⋯2ma3δ势阱-γδ(x)x=0V(x)=(15)0x≠0γ为常
43、数。将(15)式与(1)式比较,可知E<0时才存在束缚态。以下讨论E<0情形,并从有限深势阱导出δ势阱中粒子的波函数和能级。3.1波函数为了简便,用ε代替(1)式中aP2,则(1)变为0
44、x
45、≤εV(x)=(16)V0
46、x
47、>ε在阱外(
48、x
49、>ε),已求得波函数为-βxex>εΨ(x)～(17)βxex<ε式中β=2m(V0-E)PÜ在(17)式中,让左边减去V0,得-V0
50、x
51、≤εV(x)=(18)0
52、x
53、>ε波函数(17)式不变,但β=2m(-E)PÜ(19)令V0v∞ε,v0,但保持2εV0=γ,则(18)式变为(15)式,故δ势阱中粒子的
54、波函数为(17)式,即48刘益民:势阱中粒子的波函数和能级-βxex>0Ψ(x)～(20)βxex<03.2能级由(19)式得22E=-
