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1、第六章波函数和薛定谔方程第1节波函数和算符用波函数描述粒子的状态——量子力学的一个基本假设。经典理论：坐标，动量——轨道量子理论：波函数——粒子具有波动的性质（ν和λ）例：考虑自由粒子，E，p，德布罗意关系可算出频率和波长：猜想：可用具有波动性质的平面单色波来表示此粒子的状态：——自由粒子的波函数说明：1，用ψp(r,t)可以表示出粒子的ν和λ特征。这是一个猜想，其有效性需要后面的推论来验证。2，ψp(r,t)的物理意义，下一节介绍。3，相关公式4，将由ψp(r,t)得到量子力学的基本公式，建立量子力学的基础，进而确定粒子的全部微观性
2、质。问题：自由粒子的波函数ψp(r,t)如何得到力学量？波函数ψp(r,t)对x求偏导，再乘以-iħ，则：类似的方法，可得到py和pz。波函数ψp(r,t)对t求偏导，再乘以iħ，则：以上计算的共同点：计算过程这些计算过程，称为算符，在数学中，也习惯称为算子，表示对函数的操作过程。由于这些算符作用在波函数上，等于对应的力学量乘以波函数，则：——对应力学量的算符。其他算符：利用经典的力学量公式，把其中的动量换成动量算符，即可获得所有的力学量算符。例：动能的定义式：动能算符：则有：说明：1，通过算符来表示力学量，是波函数假设的必然推论。2
3、，任一算符与其对应力学量的关系为：第2节波函数的统计解释因为粒子具有波粒二象性——引入波函数。波恩对波函数做出如下解释：根据波函数的强度分布，可以确定粒子出现的几率。解释：粒子的波函数ψp(r,t)，通常为复数，其强度为
4、ψp(r,t)
5、2=ψp*(r,t)ψp(r,t)，为非负实数。在空间体积元dτ=dxdydz中，找到粒子的概率与
6、ψp(r,t)
7、2成正比，与体积元dτ成正比：取比例系数k=1单位体积内找到粒子的几率为：w(r,t)——几率密度函数。第3节态的迭加原理态的迭加原理：如果ψ1和ψ2是体系的可能状态，那么它们的线性迭加
8、Φ=c1ψ1+c2ψ2也是体系的一个可能状态。说明：1，波函数的迭加，是状态的迭加，不是强度的迭加。2，线性迭加，要求对于波函数运算的方程是齐次方程。归一化波函数：在全空间任一粒子出现几率为1，则：——归一化条件dτ为空间体积元，3维情况下dτ=dxdydz（与相体积元区别）。满足此条件的波函数，称为归一化波函数。有些波函数，不能用上式归一化，例如前面介绍的例：对于波函数Φ(r,t)，如果有则其归一化波函数为：——归一化常数对波函数的说明：1：描述同一状态，可有多个波函数，包括归一化和未归一化波函数；2：如Φ(r,t)为描述某一状态的
9、波函数，则Φ(r,t)eiδ（其中δ为实常数）描述同一状态。因为：其中eiδ称为相因子。3：判断多个波函数是否描述同一状态，需要看他们相对几率是否相同。波函数都归一化后，判断是否练习：1，判断波函数Φ(r,t)和-iΦ(r,t)是否描述同一状态？2：设波函数为Ψ(x,y,z,t)，求在(x,x+dx)的范围内找到粒子的几率。解：如Ψ(x,y,z,t)已归一化，则几率为：如未归一化，则几率为：3:已知t=0时自由粒子的波函数为：p0为已知动量矢量，求Ψ(r,t)。解：p0对应能量为则设代入t=0时的波函数，确定第4节薛定谔方程问题：如何
10、确定任意一个系统的波函数？要找到一个作用在Ψ(r,t)上的普遍方程——薛定谔方程。考虑粒子在势场中运动，势能为V(r,t)，则能量表示为：薛定谔方程：对应的算符为：——薛定谔方程对薛定谔方程的说明：1，1926年最早由薛定谔提出；3，上面只是凑出形式，并不是严格的推导得出；2，是量子力学的另一个基本假设；4，是量子力学的基础，相当于经典力学的基础定律F=ma。5，多粒子情形：描述由N个粒子组成的系统。——多粒子系统的波函数——多粒子系统的薛定谔方程例：若已知ψp(x,t)满足试证明任意波函数也满足证明：第5节粒子流密度和粒子数守恒定律
11、波函数为Ψ(r,t)，则粒子在dr出现的几率为：则几率随时间的变化率为：Ψ和Ψ*分别满足薛定谔方程：其中令：说明：1，w(r,t)为物质在r处的密度，J(r,t)则是该处物质的流。2，物质在空间任一处的粒子数守恒律对比：质量守恒律电荷守恒律考虑到w的物理意义（w为物质在r处的密度）,则波函数必须满足（波函数的标准条件）：1，连续性：Ψ不能有跃变，否则会导致w不连续；2，有限性：w=
12、Ψ
13、2才能为有限，满足几率密度的物理意义；3，单值性：空间任一点r，只有一个w。则要求Ψ使w为单值。第6节定态薛定谔方程考虑定态的情形，即：势能V(r,t
14、)与时间t无关，可以写成V(r)的形式，可以使用分离变量法简化薛定谔方程。设波函数Ψ(r,t)=ψ(r)f(t)，分为分别只和r，t有关的部分，则：把只含r，t的部分分别放在等式两边，则：只含有t的部分：只含有r的部分：
